Zbieżność szeregu

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
kt26420
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 40 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: kt26420 »

Zadanie było zbadać szybką zbieżność szeregu $$\sqrt[n]{2}-1$$ , mam rozwiązanie, ale nie rozumiem tego kroku w rozwiązaniu:
$$\sqrt[n]{2}-1=(\sum_{k=0}^{n-1}2^{k/n})^{-1}$$
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Zbieżność szeregu

Post autor: Premislav »

Inne rozwiązanie: na mocy kryterium asymptotycznego (czy też ilorazowego) i znanej granicy \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a, \ a>0}\) (bierzemy \(\displaystyle{ a=2}\) i ciąg \(\displaystyle{ x_{n}=\frac{1}{n}}\)) widzimy, że szereg jest rozbieżny, bo \(\displaystyle{ \sim \frac{1}{n}}\).

A ta wskazówka jest dość dziwna, ale bardzo sprytna. Żeby udowodnić, ze tak jest, wystarczy znajomość wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
\(\displaystyle{ a_{1}+a_{1}q+\ldots+a_{1}q^{n-1}=a_{1}\frac{1-q^{n}}{1-q}, \ q\neq 1}\)
Jak już to wiemy, to możemy oszacować
\(\displaystyle{ \left(\sum_{k=0}^{n}2^{\frac{k}{n}}\right)^{-1}>\left(\sum_{k=0}^{n-1}2\right)^{-1}=\frac{1}{2n}}\)
i kryterium porównawcze załatwia sprawę.
ODPOWIEDZ