Duże sumy
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11373
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
Duże sumy
Udowodnić, że dla \(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{2}+...+ \frac{1}{n-1} > \frac{1}{n} +...+ \frac{1}{n^2} }\) dla \(\displaystyle{ n>2}\).
Ostatnio zmieniony 14 mar 2021, o 15:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Duże sumy
Przeprowadzę dowód za pomocą zasady indukcji matematycznej.
Dla \(\displaystyle{ n=3}\) dowodzona nierówność sprowadza się do
\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}>\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{9}}\)
co jest prawdą na mocy Wolframa.
Przypuśćmy teraz, że dowodzona nierówność zachodzi dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}, \ n\ge 3}\).
Wystarczy wówczas udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}>\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+2}+\ldots+\frac{1}{(n+1)^{2}}-\frac{1}{n}\\\frac{2}{n}>\frac{1}{n^{2}+1}+\ldots+\frac{1}{(n+1)^{2}}}\)
W tym celu korzystamy z tego, że dla \(\displaystyle{ k=n+1, \ldots 2n+1}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2}+k}< \frac{1}{n^{2}+n}}\), zaś dla \(\displaystyle{ k=1\ldots n}\) jest
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2}+k}<\frac{1}{n^{2}+1}}\).
Dzięki temu mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=n+1}^{2n+1}\frac{1}{n^{2}+k}<\frac{1}{n}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n^{2}+k}<\frac{n}{n^{2}+1}}\),
co po dodaniu powyższych nierówności stronami daje nam
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{2n+1}\frac{1}{n^{2}+k}<\frac{1}{n}+\frac{n}{n^{2}+1}<\frac{2}{n}}\)
a to kończy krok indukcyjny. Na mocy zasady indukcji matematycznej (i mocy obliczeniowej Wolframa, hihi) wnioskujemy o prawdziwości nierówności dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n\ge 3}\).
Dla \(\displaystyle{ n=3}\) dowodzona nierówność sprowadza się do
\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}>\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{9}}\)
co jest prawdą na mocy Wolframa.
Przypuśćmy teraz, że dowodzona nierówność zachodzi dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}, \ n\ge 3}\).
Wystarczy wówczas udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}>\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+2}+\ldots+\frac{1}{(n+1)^{2}}-\frac{1}{n}\\\frac{2}{n}>\frac{1}{n^{2}+1}+\ldots+\frac{1}{(n+1)^{2}}}\)
W tym celu korzystamy z tego, że dla \(\displaystyle{ k=n+1, \ldots 2n+1}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2}+k}< \frac{1}{n^{2}+n}}\), zaś dla \(\displaystyle{ k=1\ldots n}\) jest
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2}+k}<\frac{1}{n^{2}+1}}\).
Dzięki temu mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=n+1}^{2n+1}\frac{1}{n^{2}+k}<\frac{1}{n}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n^{2}+k}<\frac{n}{n^{2}+1}}\),
co po dodaniu powyższych nierówności stronami daje nam
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{2n+1}\frac{1}{n^{2}+k}<\frac{1}{n}+\frac{n}{n^{2}+1}<\frac{2}{n}}\)
a to kończy krok indukcyjny. Na mocy zasady indukcji matematycznej (i mocy obliczeniowej Wolframa, hihi) wnioskujemy o prawdziwości nierówności dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n\ge 3}\).