Zapisać funkcję w szereg potęgowy.

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
Matematyka2021
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 28 sty 2021, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Zapisać funkcję w szereg potęgowy.

Post autor: Matematyka2021 »

Zapisać funkcję
$$f(z)=\frac{z}{(z+1)^2}$$
w postaci szeregu potęgowego w otoczeniu punktu $$z_0=i.$$
Wiem, że
\(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{1+z^2}=\frac{1}{z+1}-\frac{1}{(z+1)^2}}\)
Jak to rozpisałam to \(\displaystyle{ \frac{1}{z+1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(z-i)^n}{(1+i)^{n+1}}}\),
Natomiast nie wiem jak zabrać się za to \(\displaystyle{ \frac{1}{(z+1)^2}}\)
Bardzo proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 28 sty 2021, o 16:31 przez Matematyka2021, łącznie zmieniany 1 raz.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zapisać funkcję w szereg potęgowy.

Post autor: a4karo »

Spróbuj może tak:
\(\displaystyle{ 1+z=(1+i)+(z-i)=(1+i)\left(1+\frac{z-i}{1+i}\right)}\)

i skorzystaj z faktu, że szereg `\sum_{i=0}^\infty 1/(1+z)^2` uzyskasz różniczkując szereg `\sum_{i=0}^\infty 1/(1+z)` i odrobinę go przekształcając.
Matematyka2021
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 28 sty 2021, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Re: Zapisać funkcję w szereg potęgowy.

Post autor: Matematyka2021 »

Myślałem o czymś takim, ale nie wiem jak dalej ruszyć to \(\displaystyle{ \dfrac{1}{(1+z)^2}=\dfrac{1}{((1+i)+(z-i))^2}=\dfrac{1}{(1+i)^2}\dfrac{1}{(1-\frac{z-i}{-1-i})^2}}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zapisać funkcję w szereg potęgowy.

Post autor: a4karo »

No to teraz pobaw się szeregiem

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(1+i)\left(1+\frac{z-i}{1+i}\right)}}\)
To jest suma pewnego szeregu geometrycznego
Matematyka2021
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 28 sty 2021, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Re: Zapisać funkcję w szereg potęgowy.

Post autor: Matematyka2021 »

Tylko, że nasze i to otoczenie, chyba suma nie może być i=0
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zapisać funkcję w szereg potęgowy.

Post autor: a4karo »

Przepraszam, powinno być oczywiście

To teraz pobaw się funkcją

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+z}=\frac{1}{1+i}\frac{1}{1+\frac{z-i}{1+i}}}\)

To jest suma szeregu geometrycznego
ODPOWIEDZ