Zapisać funkcję
$$f(z)=\frac{z}{(z+1)^2}$$
w postaci szeregu potęgowego w otoczeniu punktu $$z_0=i.$$
Wiem, że
\(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{1+z^2}=\frac{1}{z+1}-\frac{1}{(z+1)^2}}\)
Jak to rozpisałam to \(\displaystyle{ \frac{1}{z+1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(z-i)^n}{(1+i)^{n+1}}}\),
Natomiast nie wiem jak zabrać się za to \(\displaystyle{ \frac{1}{(z+1)^2}}\)
Bardzo proszę o pomoc.
Zapisać funkcję w szereg potęgowy.
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 28 sty 2021, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
Zapisać funkcję w szereg potęgowy.
Ostatnio zmieniony 28 sty 2021, o 16:31 przez Matematyka2021, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 22171
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Zapisać funkcję w szereg potęgowy.
Spróbuj może tak:
\(\displaystyle{ 1+z=(1+i)+(z-i)=(1+i)\left(1+\frac{z-i}{1+i}\right)}\)
i skorzystaj z faktu, że szereg `\sum_{i=0}^\infty 1/(1+z)^2` uzyskasz różniczkując szereg `\sum_{i=0}^\infty 1/(1+z)` i odrobinę go przekształcając.
\(\displaystyle{ 1+z=(1+i)+(z-i)=(1+i)\left(1+\frac{z-i}{1+i}\right)}\)
i skorzystaj z faktu, że szereg `\sum_{i=0}^\infty 1/(1+z)^2` uzyskasz różniczkując szereg `\sum_{i=0}^\infty 1/(1+z)` i odrobinę go przekształcając.
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 28 sty 2021, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
Re: Zapisać funkcję w szereg potęgowy.
Myślałem o czymś takim, ale nie wiem jak dalej ruszyć to \(\displaystyle{ \dfrac{1}{(1+z)^2}=\dfrac{1}{((1+i)+(z-i))^2}=\dfrac{1}{(1+i)^2}\dfrac{1}{(1-\frac{z-i}{-1-i})^2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22171
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Zapisać funkcję w szereg potęgowy.
No to teraz pobaw się szeregiem
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(1+i)\left(1+\frac{z-i}{1+i}\right)}}\)
To jest suma pewnego szeregu geometrycznego
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(1+i)\left(1+\frac{z-i}{1+i}\right)}}\)
To jest suma pewnego szeregu geometrycznego
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 28 sty 2021, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
-
- Użytkownik
- Posty: 22171
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Zapisać funkcję w szereg potęgowy.
Przepraszam, powinno być oczywiście
To teraz pobaw się funkcją
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+z}=\frac{1}{1+i}\frac{1}{1+\frac{z-i}{1+i}}}\)
To jest suma szeregu geometrycznego
To teraz pobaw się funkcją
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+z}=\frac{1}{1+i}\frac{1}{1+\frac{z-i}{1+i}}}\)
To jest suma szeregu geometrycznego