Badanie zbieżności szeregu

[h2822]

Dobry wieczór,

Mam problem z następującym zadaniem.
Zbadać zbieżność poniższego szeregu ze względu na wartość parametru \(\displaystyle{ \beta \in \mathbb{R}}\).
\(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty } \frac{1}{n ^{\beta}} \cdot \sin( \frac{1}{n} ) }\)

Korzystając z kryterium porównawczego udało mi się pokazać, że szereg będzie zbieżny dla \(\displaystyle{ \beta \in \left( 1;\infty \right) }\) i powiem szczerze, że nie do końca mam pomysł co zrobić dalej. Byłbym wdzięczny gdyby ktoś podpowiedział mi, które kryterium najlepiej w tym przypadku użyć.

[Tmkk]

Jeśli znasz kryterium porównawcze w wersji ilorazowej (tzn liczy się granice odpowiednich rzeczy), to skorzystaj z tego, że
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\sin{\left( \frac{1}{n} \right) }}{\frac{1}{n}} = 1}\)

Jeśli znasz tylko takie standardowe kryterium porównawcze, to zachodzą następujące nierówności: dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\) jest
\(\displaystyle{ \sin{x} \le x}\)

oraz dla \(\displaystyle{ x\in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)}\) jest
\(\displaystyle{ \sin{x} \ge \frac{2}{\pi}x}\)

i to już powinno wystarczyć.