Cześć mam problem ze sprawdzeniem zbieżności takich szeregów:
1.\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n!+n^n}{(2n)!} }\) próbowałem z kryt. D'Alamberta ale utknąłem przy dzieleniu logarytmów
2.\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{1+a^n} }\)
3.\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n \sqrt[n]{n} } }\)
4.Pokazać, że jeśli szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_n}\) jest zbieżny bezwzględnie to zbieżny bezwzględnie jest też \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n+1}{n} a_n}\)
5.Gdy \(\displaystyle{ a_n}\) jest ograniczony i dodatni to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{na_n} }\) jest rozbieżny
Ocenić zbieżność szeregu
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Ocenić zbieżność szeregu
1. Ponieważ \(\displaystyle{ 0\le n!\le n^{n}}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{n^{n}}{(2n)!}\le \frac{n!+n^{n}}{(2n)!}\le \frac{n^{n}+n^{n}}{(2n)!}=2\cdot \frac{n^{n}}{(2n)!}}\)
i problem sprowadza się w praktyce do sprawdzenia zbieżności
\(\displaystyle{ \sum_{}^{}\frac{n^{n}}{(2n)!}}\)
który już łatwo idzie, jak chciałeś, z d'Alemberta, tylko trzeba znać \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e}\).
Można też od razu skorzystać z kryterium asymptotycznego.
2. Jeżeli \(\displaystyle{ |a|>1}\), to
\(\displaystyle{ \left|\frac{1}{1+a^{n}}\right|=\frac{1}{\left|1+a^{n}\right|}\le \frac{1}{|a|^{n}-1}\le \frac{1}{|a|^{n}-|a|^{n-1}}=\frac{1}{|a|-1}\cdot \left(\frac{1}{|a|}\right)^{n}}\)
czyli mamy szacowanie z góry przez zbieżny szereg geometryczny.
Natomiast dla \(\displaystyle{ |a|\le 1}\) nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności.
3. Kryterium asymptotyczne z wyrazami szeregu \(\displaystyle{ \sum \frac{1}{n}}\)
czyli bodaj najsłynniejszego szeregu rozbieżnego: korzystamy z tego, że
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1}\)
4. Wskazówka: \(\displaystyle{ \left|\frac{n+1}{n}a_{n}\right|=\left(1+\frac{1}{n}\right)|a_{n}|\le 2|a_{n}|}\)
5. Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie ograniczeniem górnym tego ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})}\). Jeśli \(\displaystyle{ 0<a_{n}\le M}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{a_{n}}\ge \frac{1}{M}}\); zastosuj kryterium porównawcze.
\(\displaystyle{ \frac{n^{n}}{(2n)!}\le \frac{n!+n^{n}}{(2n)!}\le \frac{n^{n}+n^{n}}{(2n)!}=2\cdot \frac{n^{n}}{(2n)!}}\)
i problem sprowadza się w praktyce do sprawdzenia zbieżności
\(\displaystyle{ \sum_{}^{}\frac{n^{n}}{(2n)!}}\)
który już łatwo idzie, jak chciałeś, z d'Alemberta, tylko trzeba znać \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e}\).
Można też od razu skorzystać z kryterium asymptotycznego.
2. Jeżeli \(\displaystyle{ |a|>1}\), to
\(\displaystyle{ \left|\frac{1}{1+a^{n}}\right|=\frac{1}{\left|1+a^{n}\right|}\le \frac{1}{|a|^{n}-1}\le \frac{1}{|a|^{n}-|a|^{n-1}}=\frac{1}{|a|-1}\cdot \left(\frac{1}{|a|}\right)^{n}}\)
czyli mamy szacowanie z góry przez zbieżny szereg geometryczny.
Natomiast dla \(\displaystyle{ |a|\le 1}\) nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności.
3. Kryterium asymptotyczne z wyrazami szeregu \(\displaystyle{ \sum \frac{1}{n}}\)
czyli bodaj najsłynniejszego szeregu rozbieżnego: korzystamy z tego, że
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1}\)
4. Wskazówka: \(\displaystyle{ \left|\frac{n+1}{n}a_{n}\right|=\left(1+\frac{1}{n}\right)|a_{n}|\le 2|a_{n}|}\)
5. Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie ograniczeniem górnym tego ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})}\). Jeśli \(\displaystyle{ 0<a_{n}\le M}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{a_{n}}\ge \frac{1}{M}}\); zastosuj kryterium porównawcze.