Kiełbasa 2018 Zadanie 736* Zagadka dla ambitnych

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
Matematyczneskrupuly
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 31 gru 2020, o 01:53
Płeć: Mężczyzna
wiek: 1

Kiełbasa 2018 Zadanie 736* Zagadka dla ambitnych

Post autor: Matematyczneskrupuly »

Dzień dobry, witam wszystkich. Proszę o pomoc w wyjaśnieniu

736.* Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie \(\displaystyle{ x- x^{3}+ x^{5}-...=m+m ^{2}+m ^{3}+... }\) ma rozwiązania, jeżeli wyrażenia po obu stronach równania są szeregami geometrycznymi zbieżnymi.

W dużym skrócie:

\(\displaystyle{ mx ^{2}+(m-1)x+m=0 }\)
\(\displaystyle{ DELTA \ge 0}\)

i wychodzi \(\displaystyle{ m \in (-1; \frac{1}{3}] }\), uwzględniając założenie \(\displaystyle{ m \in (-1;1)}\).

Moje pytanie, jak tu uwzględnić założenie \(\displaystyle{ x \in (-1;1)}\), tak aby wyszedł poprawny wynik \(\displaystyle{ m \in (-1; \frac{1}{3}) }\).

PS. Z pochodnych wszystko ładnie wychodzi, ale, jak ugryźć temat bez nich. Jeżeli policzymy f(x)=\(\displaystyle{ mx ^{2}+(m-1)x+m}\) dla f(-1) i f(1), to wówczas wyjdzie \(\displaystyle{ f(-1)=-1 i f(1)=\frac{1}{3} }\) i można wykluczyć 1/3, ale dzieje się tak tylko dlatego, że w tej funkcji ekstrema pokrywają się z najmniejszą i największą wartością funkcji, ale co jeśli tak nie będzie?

Z góry dziękuję za pomoc :)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Kiełbasa 2018 Zadanie 736* Zagadka dla ambitnych

Post autor: Janusz Tracz »

Wygodniej jest raczej popatrzeć na to ogólniej, a nie jak na równanie kwadratowe. Do policzenia jest obraz funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x-x^3+x^5...}\) która określona jest na \(\displaystyle{ x\in\left( -1,1\right) }\) gdzie równoważnie można zapisać, że \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{x^2+1}}\) dla \(\displaystyle{ x\in\left( -1,1\right)}\). Teraz zauważamy, że:

\(\displaystyle{ \bullet}\) Zbiór (obraz) \(\displaystyle{ f\left[ \left( -1,1\right) \right]=\left( - \frac{1}{2} ,\frac{1}{2}\right) }\).

\(\displaystyle{ \bullet}\) Zatem dla \(\displaystyle{ \xi\in \left( - \frac{1}{2} ,\frac{1}{2}\right)}\) będzie istniał taki \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ f(x)=\xi}\).

\(\displaystyle{ \bullet}\) A prawa strona to \(\displaystyle{ \frac{m}{1+m} }\) dla \(\displaystyle{ m\in \left( -1,1\right) }\).

\(\displaystyle{ \bullet}\) Zatem pytanie gdzie \(\displaystyle{ m\in \left( -1,1\right) }\) oraz jednocześnie \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}<\frac{m}{1+m}< \frac{1}{2} }\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) Warto jednak zacząć od \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}<\frac{m}{1+m}< \frac{1}{2} }\) bo okazuje się to równoważne z \(\displaystyle{ -\frac{1}{3}<m<1}\). Więc warunek \(\displaystyle{ m\in \left( -1,1\right) }\) nie miał tu nic do przycięcia.
ODPOWIEDZ