Zbieżność szeregu

[tomika92]

Cześć, mam sprawdzić spełniony jest konieczny warunek zbieżności.
Granica faktycznie powinna wynosić 0 natomiast cały czas robie gdzieś błąd i nie umiem dość do tego gdzie.

\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{2^n \cdot (2n)!}{ 3n^{2n}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{2^n \cdot (2n)!}{ (3n)^{2n}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{2^{n+1} \cdot (2n+2)!}{ (3n+3)^{2n+2} } \cdot \frac{ (3n)^{2n} }{ 2^{n} \cdot (2n)! }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{2^{n} \cdot 2 \cdot (2n+2)(2n+1)2n!}{ (3n+3)^{2n} \cdot (3n+3)^{2} } \cdot \frac{ (3n)^{2n} }{ 2^{n} \cdot (2n)! }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{ 2n ^{2} \cdot (2+ \frac{2}{n} )(2+ \frac{1}{n} )}{ (3n) ^{2n} (1+ \frac{1}{n} )^{2n} \cdot 9n ^{2} (1+ \frac{1}{n} )^{2} } \cdot (3n)^{2n}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{ 2 \cdot (2+ \frac{2}{n} )(2+ \frac{1}{n} )}{(1+ \frac{1}{n} )^{2n} \cdot 9 (1+ \frac{1}{n} )^{2} }}\)

Gdzie robię błąd? Bo ewidentnie 0 mi z tego nie wychodzi

[Tmkk]

A czemu liczysz granicę \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}}\), skoro masz sprawdzić warunek konieczny?

No chyba, że chcesz rozumować w ten sposób: sprawdzasz zbieżność szeregu z kryterium d'Alemberta, wychodzi zbieżny, więc warunek konieczny musi być spełniony, więc granica ciagu pod szeregiem musi być równa \(\displaystyle{ 0}\).

[tomika92]

Okay, no to chyba czegoś mi brakuje. Warunek konieczny to \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n}=0}\). No to mam trochę problem bo nie wiem jak sobie poradzić z tą granicą

[Tmkk]

Sposób z kryterium d'Alemberta jest wg mnie całkiem spoko. Ale jeśli chcesz po prostu policzyć tę granicę, to może spróbuj od rozpisania tak:

\(\displaystyle{ \frac{2^n(2n)!}{(3n)^{2n}} = \frac{2^n}{\left(\frac{3}{2}\right)^{2n}} \cdot \frac{(2n)!}{(2n)^{2n}}}\)

Spróbuj pokazać, że oba kawałki dążą do zera. Pierwszy to banał. Drugi kawałek można oszacować z góry i skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach, pomyśl sobie.

[a4karo]

Przecież tam jest jak byk `\frac{2 ^n(2n)!}{3 n^{2n}}\ne \frac{2 ^n(2n)!}{(3 n) ^{2n}}`

[Premislav]

Mamy \(\displaystyle{ k!\ge\left(\frac{k}{e}\right)^{k}}\), co łatwo udowodnić indukcyjnie, zatem
\(\displaystyle{ (2n)!\ge \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}\\\frac{2^{n}\cdot (2n)!}{3\cdot n^{2n}}\ge \frac{8^{n}}{3\cdot e^{2n}}}\)
i sprawę załatwia to, że \(\displaystyle{ e^{2}<8}\), gdyż \(\displaystyle{ e<2\sqrt{2}}\). Gdyby ktoś się czepiał, skąd wiemy, że zajdzie taka nierówność, to można to uzasadnić tak:
jest \(\displaystyle{ k!>2^{k}, \ k\ge 4}\) (co również łatwo wykazać indukcyjnie), więc
\(\displaystyle{ e=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\sum_{k=5}^{+\infty}\frac{1}{k!}\\<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\sum_{k=5}^{+\infty}\frac{1}{2^{k}}\\=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{16}=2+\frac{37}{48}<2\sqrt{2}}\)

[Tmkk]

Przecież tam jest jak byk `\frac{2 ^n(2n)!}{3 n^{2n}}\ne \frac{2 ^n(2n)!}{(3 n) ^{2n}}`

Autorka przekształcała dalej, jakby tam był nawias, więc pomyślałem, że to niedokładnie przepisana treść.

[tomika92]

Przecież tam jest jak byk `\frac{2 ^n(2n)!}{3 n^{2n}}\ne \frac{2 ^n(2n)!}{(3 n) ^{2n}}`

Autorka przekształcała dalej, jakby tam był nawias, więc pomyślałem, że to niedokładnie przepisana treść.

True w pierwszej linijce też powinien być ten nawias. Mój bład.