Oblicz sumę szeregu

[Maradona126]

Hej,
Mam problem z obliczeniem sumy z takiego szeregu. Nie wiem jak to zrobić, żeby doprowadzić do takiej skracalnej postaci. Pomoże ktoś?

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \ln \frac{n(n+2)}{(n+1) ^{2} } }\)

[Tmkk]

Skorzystaj z podstawowych własności logarytmu, czyli że suma logarytmów to logarytm iloczynu, itd.

[Maradona126]

Doprowadziłem jakoś do tej postaci \(\displaystyle{ \ln n(n+2)+\ln \frac{1}{(n+1) ^{2} } }\) Nie wiem czy dobrze i nie wiem jak doprowadzić to do takiej postaci by wyznaczyć sumę.

[a4karo]

Jeszcze trochę poprzeksztalcaj tak żeby dostać sumę dwóch różnic logarytmów

[Premislav]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ \ln \frac{n(n+2)}{(n+1)^{2}}=\ln \frac{n}{n+1}+\ln\frac{n+2}{n+1}=\ln\frac{n}{n+1}-\ln \frac{n+1}{n+2}}\)

Jak dodasz tak kilka wyrazów, to zauważysz zapewne, że dużo rzeczy się poskraca.

[Maradona126]

Mam pytanie ln 1=0 ?

[a4karo]

Tak, ale czy naprawdę nie możesz sam tego sprawdzić, zamiast angażować innych?

[Maradona126]

Nie byłem pewien no wiem że log 1=0 ale nie wiem jak jest w przypadku ln 1. Zapytałem tak na szybko, kolejnym razem postaram się sam to gdzieś sprawdzić. Sorki

Dodano po 7 minutach 13 sekundach:

Wskazówka:
\(\displaystyle{ \ln \frac{n(n+2)}{(n+1)^{2}}=\ln \frac{n}{n+1}+\ln\frac{n+2}{n+1}=\ln\frac{n}{n+1}-\ln \frac{n+1}{n+2}}\)

Jak dodasz tak kilka wyrazów, to zauważysz zapewne, że dużo rzeczy się poskraca.

Twoje rozwiązanie jest bardzo ciekawe. Mam pytanie z jakiej własności skorzystałeś przy tym drugim przejściu, że zamieniłeś licznik z mianownikiem i zrobił się minus?

[a4karo]

Poszukaj sam tej własności. Trochę inwencji