Zbadaj Zbieżność szeregów

[Maradona126]

Cześć, muszę zbadać zbieżność poniższych szeregów. Wiem, że do tego pierwszego można użyć kryterium porównawcze tylko nie wiem jaki tam dać ciąg do porównania i ogólnie jak to zapisać. A do tego trzeciego można podobno użyć kryterium zagęszczania, ale też nie wiem jak to zapisać i dojść do poprawnego wyniku. Za pomoc z góry DZIĘKUJĘ!

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\left( n^{2}\sin \frac{2}{ n^{2} }\tan \frac{15}{n}\right) }\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\sin\left( \tan \frac{1}{n}\right) }\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\log n}{n^{3} } }\)

[Tmkk]

a,b) Czy znasz kryterium asymptotyczne? Jeśli nie, to mogą przydać się nierówności: \(\displaystyle{ \sin{x} \ge \frac{2}{\pi}x}\) oraz \(\displaystyle{ \tan{x} \ge x \ge \sin{x}}\), obydwie prawdziwe dla \(\displaystyle{ x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]}\).

c) W jakim sensie nie wiesz jak to zapisać? Znasz to kryterium? Tam wystarczy po prostu podstawić.

[Maradona126]

Dzięki za odzew więc mam kilka pytań.

a) Wychodzi taka nierówność? \(\displaystyle{ n^{2}\sin\left( \frac{2}{ n^{2} }\right) \tan\left( \frac{15}{n}\right) \ge\ n ^{2} \cdot\ \frac{2}{ \pi } \cdot \frac{2}{n ^{2} } \cdot \frac{15}{n} }\)
\(\displaystyle{ n ^{2} \cdot \ \frac{2}{ \pi } \cdot \frac{2}{n ^{2} } \cdot \frac{15}{n}= \frac{60}{n \pi } }\) Więc jaki to szereg? Dobrze to jest doprowadzone do tej postaci?

b) Pewnie zrobiłbym analogicznie jak a).

c) Jeśli dobrze podstawiłem a potem uprościłem to wychodzi mi takie coś \(\displaystyle{ n \log 2}\) i nie wiem co dalej.

[Tmkk]

a) Dobrze. To teraz pytanie, czy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}}\) jest zbieżny czy rozbieżny? Podpowiem, że to jest jeden z pierwszych przykładów, jakie się omawia w temacie szeregów liczbowych.
b) pewnie tak
c) nie wiem, bo nie pokazałeś obliczeń. Ale tak nie wyjdzie - powinno coś jeszcze stać w mianowniku.

[Maradona126]

a) Dobrze. To teraz pytanie, czy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}}\) jest zbieżny czy rozbieżny? Podpowiem, że to jest jeden z pierwszych przykładów, jakie się omawia w temacie szeregów liczbowych.
b) pewnie tak
c) nie wiem, bo nie pokazałeś obliczeń. Ale tak nie wyjdzie - powinno coś jeszcze stać w mianowniku.

Ok. a) już rozumiem jest rozbieżny z szeregu harmonicznego. Te pi w mianowniku mnie zmyliło i zapomniałem że można to rozdzielić w ten sposób \(\displaystyle{ \frac{1}{ \pi } \cdot \frac{1}{n}= \frac{1}{n \pi } }\) I wtedy będę miał ten szereg harmoniczny.

A co do c) to widzę mój błąd rachunkowy i teraz mi wychodzi jakoś tak \(\displaystyle{ \frac{\log2 ^{n} }{ 4^{n} } }\) i też nie wiem co dalej.

[Tmkk]

a) tak, jak mówisz.
c) teraz ok. Popróbuj różnych kryteriów, które znasz, na pewno którymś wyjdzie : )

[Maradona126]

a) tak, jak mówisz.
c) teraz ok. Popróbuj różnych kryteriów, które znasz, na pewno którymś wyjdzie : )

Ok. Dziękuję za pomoc