Cześć, muszę zbadać zbieżność poniższych szeregów. Wiem, że do tego pierwszego można użyć kryterium porównawcze tylko nie wiem jaki tam dać ciąg do porównania i ogólnie jak to zapisać. A do tego trzeciego można podobno użyć kryterium zagęszczania, ale też nie wiem jak to zapisać i dojść do poprawnego wyniku. Za pomoc z góry DZIĘKUJĘ!
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\left( n^{2}\sin \frac{2}{ n^{2} }\tan \frac{15}{n}\right) }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\sin\left( \tan \frac{1}{n}\right) }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\log n}{n^{3} } }\)
Zbadaj Zbieżność szeregów
-
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 29 razy
Zbadaj Zbieżność szeregów
Ostatnio zmieniony 8 gru 2020, o 19:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Zbadaj Zbieżność szeregów
a,b) Czy znasz kryterium asymptotyczne? Jeśli nie, to mogą przydać się nierówności: \(\displaystyle{ \sin{x} \ge \frac{2}{\pi}x}\) oraz \(\displaystyle{ \tan{x} \ge x \ge \sin{x}}\), obydwie prawdziwe dla \(\displaystyle{ x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]}\).
c) W jakim sensie nie wiesz jak to zapisać? Znasz to kryterium? Tam wystarczy po prostu podstawić.
c) W jakim sensie nie wiesz jak to zapisać? Znasz to kryterium? Tam wystarczy po prostu podstawić.
-
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 29 razy
Re: Zbadaj Zbieżność szeregów
Dzięki za odzew więc mam kilka pytań.
a) Wychodzi taka nierówność? \(\displaystyle{ n^{2}\sin\left( \frac{2}{ n^{2} }\right) \tan\left( \frac{15}{n}\right) \ge\ n ^{2} \cdot\ \frac{2}{ \pi } \cdot \frac{2}{n ^{2} } \cdot \frac{15}{n} }\)
\(\displaystyle{ n ^{2} \cdot \ \frac{2}{ \pi } \cdot \frac{2}{n ^{2} } \cdot \frac{15}{n}= \frac{60}{n \pi } }\) Więc jaki to szereg? Dobrze to jest doprowadzone do tej postaci?
b) Pewnie zrobiłbym analogicznie jak a).
c) Jeśli dobrze podstawiłem a potem uprościłem to wychodzi mi takie coś \(\displaystyle{ n \log 2}\) i nie wiem co dalej.
a) Wychodzi taka nierówność? \(\displaystyle{ n^{2}\sin\left( \frac{2}{ n^{2} }\right) \tan\left( \frac{15}{n}\right) \ge\ n ^{2} \cdot\ \frac{2}{ \pi } \cdot \frac{2}{n ^{2} } \cdot \frac{15}{n} }\)
\(\displaystyle{ n ^{2} \cdot \ \frac{2}{ \pi } \cdot \frac{2}{n ^{2} } \cdot \frac{15}{n}= \frac{60}{n \pi } }\) Więc jaki to szereg? Dobrze to jest doprowadzone do tej postaci?
b) Pewnie zrobiłbym analogicznie jak a).
c) Jeśli dobrze podstawiłem a potem uprościłem to wychodzi mi takie coś \(\displaystyle{ n \log 2}\) i nie wiem co dalej.
Ostatnio zmieniony 8 gru 2020, o 22:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - sin, logarytm - log, logarytm naturalny - ln itd. Poprawa wiadomości.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - sin, logarytm - log, logarytm naturalny - ln itd. Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Zbadaj Zbieżność szeregów
a) Dobrze. To teraz pytanie, czy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}}\) jest zbieżny czy rozbieżny? Podpowiem, że to jest jeden z pierwszych przykładów, jakie się omawia w temacie szeregów liczbowych.
b) pewnie tak
c) nie wiem, bo nie pokazałeś obliczeń. Ale tak nie wyjdzie - powinno coś jeszcze stać w mianowniku.
b) pewnie tak
c) nie wiem, bo nie pokazałeś obliczeń. Ale tak nie wyjdzie - powinno coś jeszcze stać w mianowniku.
-
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 29 razy
Re: Zbadaj Zbieżność szeregów
Ok. a) już rozumiem jest rozbieżny z szeregu harmonicznego. Te pi w mianowniku mnie zmyliło i zapomniałem że można to rozdzielić w ten sposób \(\displaystyle{ \frac{1}{ \pi } \cdot \frac{1}{n}= \frac{1}{n \pi } }\) I wtedy będę miał ten szereg harmoniczny.Tmkk pisze: ↑8 gru 2020, o 21:57 a) Dobrze. To teraz pytanie, czy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}}\) jest zbieżny czy rozbieżny? Podpowiem, że to jest jeden z pierwszych przykładów, jakie się omawia w temacie szeregów liczbowych.
b) pewnie tak
c) nie wiem, bo nie pokazałeś obliczeń. Ale tak nie wyjdzie - powinno coś jeszcze stać w mianowniku.
A co do c) to widzę mój błąd rachunkowy i teraz mi wychodzi jakoś tak \(\displaystyle{ \frac{\log2 ^{n} }{ 4^{n} } }\) i też nie wiem co dalej.
Ostatnio zmieniony 8 gru 2020, o 22:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - sin, logarytm - log, logarytm naturalny - ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - sin, logarytm - log, logarytm naturalny - ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 29 razy