Zbieżność szeregu

[iapko]

Zbadaj zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n+\left( -1\right) ^{n-1} } }\)
Jak się do tego zabrać? Z odpowiedzi wiem że jest zbieżny, ale jak to zbadać?

[pkrwczn]

Spróbuj dodać parzyste wyrazy do nieparzystych.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n+\left( -1\right) ^{n-1} }= \sum_{n=1}^{ \infty }a_n=\sum_{\substack{n=1\\ n\ nieparzyste}}^{ \infty } a_n+a_{n+1}}\)

[Bran]

Spróbuj dodać parzyste wyrazy do nieparzystych.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n+\left( -1\right) ^{n-1} }= \sum_{n=1}^{ \infty }a_n=\sum_{\substack{n=1\\ n\ nieparzyste}}^{ \infty } a_n+a_{n+1}}\)

Nie wiem czy tak można...

Zbadaj zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n+\left( -1\right) ^{n-1} } }\)
Jak się do tego zabrać? Z odpowiedzi wiem że jest zbieżny, ale jak to zbadać?

EDIT: PROSZĘ NIE PATRZEĆ TAM NIŻEJ, BO BZDURY POPISAŁEM
Wykażmy, że rozważany szereg jest bezwzględnie zbieżny:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \left| \frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n+\left( -1\right) ^{n-1} }\right| = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{\left| n+\left( -1\right) ^{n-1} \right|}}\)

Zauważmy teraz, że wyrażenie w wartości bezwzględnej zawsze będzie dodatnie, zatem:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{\left| n+\left( -1\right) ^{n-1} \right|} = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n+\left( -1\right) ^{n-1}}}\)

Opuszczenie skończenie wielu wyrazów szeregu nie wpływa na jego zbieżność, stąd mamy nierówność:

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n+\left( -1\right) ^{n-1}} < \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n-1}}\)

Korzystając z kryterium porównawczego
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \left| \frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n+\left( -1\right) ^{n-1} }\right| < \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n-1}}\)
otrzymujemy zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \left| \frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n+\left( -1\right) ^{n-1} }\right|}\), stąd wynika bezwzględna zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n+\left( -1\right) ^{n-1}}.}\)

Wiemy, że jeżeli szereg jest bezwzględnie zbieżny, to jest również zbieżny co kończy zadanie i szereg faktycznie jest zbieżny.

[janusz47]

Czy szereg

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n-1}}\) jest szeregiem zbieżnym?

[Bran]

Oczywiście, że nie.
Dziękuję za uwagę, w takim razie obawiam się, że szereg nie jest bezwzględnie zbieżny, bo \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \left| \frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n+\left( -1\right) ^{n-1}}\right| > \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n+1}}\)

Z kryterium Leibniza też nie pójdzie. W takim razie póki co - nie mam pomysłu.
Z tym, że tak jak mówiłem - nie jestem przekonany czy rozwiązanie pkrwczn-a jest dobre - ale może być, nie mówię, że nie... Jednak twierdzenie Riemanna mnie tutaj niepokoi.

[pkrwczn]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n+\left( -1\right) ^{n-1} }= \sum_{\substack{n=1\\ n\ nieparzyste}}^{ \infty } a_n+a_{n+1}=\sum_{n=1}^{ \infty }a_n=\sum_{\substack{n=1\\ n\ nieparzyste}}^{ \infty } \frac{-1}{n^2+n}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{-1}{n^2}<
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{-1}{n^2+n}<
\sum_{\substack{n=1\\ n\ nieparzyste}}^{ \infty } \frac{-1}{n^2+n}<0}\)


\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{-1}{n^2}<
\sum_{n=1}^{ \infty }a_n<0}\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty } \frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n+\left( -1\right) ^{n-1}} }\)

\(\displaystyle{ \frac{(-1)^{n-1}}{n + (-1)^{n-1}} = (-1)^{n-1} \cdot {n}^{-1}\left( 1 + \frac{(-1)^{n-1}}{n}\right)^{-1} }\)

Zastosujemy rozwinięcie w szereg Taylora-Maclaurina z resztą w formie Peano

\(\displaystyle{ \frac{(-1)^{n-1}}{n + (-1)^{n-1}} = (-1)^{n-1} \cdot {n}^{-1}\left( 1 + \frac{(-1)^{n-1}}{n}\right)^{-1} = (-1)^{n-1} \cdot {n}^{-1}\cdot \left( 1 + 1\cdot \frac{(-1)^{n}}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) = }\)
\(\displaystyle{ = \frac{(-1)^{n-1}}{n} + \frac{(-1)^{2n-1}}{n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) }\)

Szeregi naprzemienne \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}, \ \ \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{(-1)^{2n-1}}{n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) }\) są zbieżne na podstawie kryterium Leibniza.

Stąd wynika, że badany szereg jest zbieżny.