Zbadaj zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+ \infty } \frac{1-2\left( -1\right) ^{n} }{n} }\)
Wydawało mi się że należy tu skorzystać z kryterium Leibniza, ale nie jestem pewna jak wyciągnąć \(\displaystyle{ \left( -1\right) ^{n} }\) przed ułamek. Jaką metodę można tu zastosować?
Zbieżność szeregu naprzemiennego
-
szw1710
Re: Zbieżność szeregu naprzemiennego
Gdyby ten szereg był zbieżny, to po dodaniu wyrazu szeregu zbieżnego \(\dfrac{2\cdot(-1)^n}{n}\) otrzymalibyśmy szereg zbieżny (suma dwóch szeregów zbieżnych jest szeregiem zbieżnym). A zatem szereg harmoniczny byłby zbieżny, sprzeczność.
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Zbieżność szeregu naprzemiennego
A może ten szereg nie jest zbieżny? Niech \(\displaystyle{ N}\) będzie parzyste wtedy:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N} \frac{1-2\left( -1\right) ^{n} }{n} =\sum_{n=1}^{N} \frac{-1 }{2n}+\sum_{n=1}^{N-1} \frac{3 }{2n-1} }\)
A to można szacować z dołu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N} \frac{-1 }{2n}+\sum_{n=1}^{N-1} \frac{3 }{2n-1} \ge \sum_{n=1}^{N} \frac{-1 }{2n}+\sum_{n=1}^{N-1} \frac{3 }{2n}}\)
A to daje się dalej zapisać jako:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N} \frac{-1 }{2n}+\sum_{n=1}^{N-1} \frac{3 }{2n}=- \frac{1}{2N}- \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1 }{n}+ \frac{3}{2} \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1 }{n}= - \frac{1}{2N}+ \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1 }{n}}\)
A gdy \(\displaystyle{ N}\) rożnie to \(\displaystyle{ - \frac{1}{2N}+ \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1 }{n}}\) rośnie i jest nieograniczone. Zatem istnieje suma częściowa która jest rozbieżna. Zatem szereg nie jest zbieżny.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N} \frac{1-2\left( -1\right) ^{n} }{n} =\sum_{n=1}^{N} \frac{-1 }{2n}+\sum_{n=1}^{N-1} \frac{3 }{2n-1} }\)
A to można szacować z dołu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N} \frac{-1 }{2n}+\sum_{n=1}^{N-1} \frac{3 }{2n-1} \ge \sum_{n=1}^{N} \frac{-1 }{2n}+\sum_{n=1}^{N-1} \frac{3 }{2n}}\)
A to daje się dalej zapisać jako:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N} \frac{-1 }{2n}+\sum_{n=1}^{N-1} \frac{3 }{2n}=- \frac{1}{2N}- \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1 }{n}+ \frac{3}{2} \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1 }{n}= - \frac{1}{2N}+ \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1 }{n}}\)
A gdy \(\displaystyle{ N}\) rożnie to \(\displaystyle{ - \frac{1}{2N}+ \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1 }{n}}\) rośnie i jest nieograniczone. Zatem istnieje suma częściowa która jest rozbieżna. Zatem szereg nie jest zbieżny.