Zbieżność szeregu

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
wojciechswieboda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 24 lis 2020, o 21:20
Płeć: Mężczyzna
wiek: 31

Zbieżność szeregu

Post autor: wojciechswieboda »

Witam serdecznie,

mam za zadanie zbadać zbieżność szeregu podanego poniżej ale nie wiem jak się do tego zabrać

\(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty} \frac{\left( n + 7\right) 9^{n} }{ 2^{n}\cdot 3^{n+1} }}\)

Serdecznie dziekuję za każdą formę pomocy!
Ostatnio zmieniony 24 lis 2020, o 21:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15687
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5220 razy

Re: Zbieżność szeregu

Post autor: Premislav »

Można zastosować kryterium d'Alemberta. Jak ktoś woli, to może też od razu sprawdzić warunek konieczny:
jest \(\displaystyle{ 9^{n}>6^{n}}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{(n+7)9^{n}}{2^{n}3^{n+1}}=\frac{n+7}{3}\cdot \frac{9^{n}}{6^{n}}>\frac{n+7}{3}}\)
a oczywiście
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{n+7}{3}=+\infty}\),
toteż szereg jest rozbieżny, gdyż warunek konieczny zbieżności nie jest spełniony.
wojciechswieboda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 24 lis 2020, o 21:20
Płeć: Mężczyzna
wiek: 31

Re: Zbieżność szeregu

Post autor: wojciechswieboda »

Bardzo dziękuję! Rozjaśniło się nareszcie, a stosując kryterium d'Alemberta jak by wyglądało rozwiązanie tej zbieżności?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34199
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5197 razy

Re: Zbieżność szeregu

Post autor: Jan Kraszewski »

A wiesz, co to jest kryterium d'Alemberta? Jaki masz kłopot z samodzielnym jego zastosowaniem?

JK
wojciechswieboda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 24 lis 2020, o 21:20
Płeć: Mężczyzna
wiek: 31

Re: Zbieżność szeregu

Post autor: wojciechswieboda »

Witam, tak znam poniżej moja próba, czy wszystko sie zgadza?

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+8) 9^{n+1}}{ 2^{n+1} \cdot 3^{n+1} \cdot 3 } \cdot \frac{ 2^{n} \cdot 3^{n+1} }{(n+7) 9^{n} } = \\
\frac{(n+8) 9^{n} \cdot 9 }{ 2^{n} \cdot 2 \cdot 3^{n} \cdot 3 \cdot 3 } \cdot \frac{2^{n} \cdot 3^{n} \cdot 3 }{(n+7) 9^{n} } = \\
\frac{(n+8) 9^{n} \cdot 9 }{ 6^{n} \cdot 18 } \cdot \frac{ 6^{n} \cdot 3}{(n+7) 9^{n} } = \\
\frac{9n+72}{18} \cdot \frac{3}{n+7} = \frac{n(9+ \frac{72}{n})}{18} \cdot \frac{3}{n(1+ \frac{7}{n})} = \\
\frac{9}{18} \cdot \frac{3}{1} = \frac{9}{6} \cdot 1= \frac{3}{2} > 1 }\)
Ostatnio zmieniony 25 lis 2020, o 15:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34199
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5197 razy

Re: Zbieżność szeregu

Post autor: Jan Kraszewski »

wojciechswieboda pisze: 25 lis 2020, o 12:25 Witam, tak znam poniżej moja próba, czy wszystko sie zgadza?

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+8) 9^{n+1}}{ 2^{n+1} \cdot 3^{n+1} \cdot 3 } \cdot \frac{ 2^{n} \cdot 3^{n+1} }{(n+7) 9^{n} } = \\
\frac{(n+8) 9^{n} \cdot 9 }{ 2^{n} \cdot 2 \cdot 3^{n} \cdot 3 \cdot 3 } \cdot \frac{2^{n} \cdot 3^{n} \cdot 3 }{(n+7) 9^{n} } = \\
\frac{(n+8) 9^{n} \cdot 9 }{ 6^{n} \cdot 18 } \cdot \frac{ 6^{n} \cdot 3}{(n+7) 9^{n} } = \\
\frac{9n+72}{18} \cdot \frac{3}{n+7} = \frac{n(9+ \frac{72}{n})}{18} \cdot \frac{3}{n(1+ \frac{7}{n})}}\)
Dotąd się zgadza, poza tym, że bardzo nieefektywnie wykonujesz niezbędne rachunki.
wojciechswieboda pisze: 25 lis 2020, o 12:25\(\displaystyle{ \frac{n(9+ \frac{72}{n})}{18} \cdot \frac{3}{n(1+ \frac{7}{n})}= \frac{9}{18} \cdot \frac{3}{1} = \frac{9}{6} \cdot 1= \frac{3}{2} > 1 }\)
A tu już się nie zgadza, bo nie wolno przejścia granicznego zastępować równością (poza tym należałoby najpierw uprościć, a dopiero potem przejść do granicy). Jak to poprawisz, to będzie dobrze.

JK
wojciechswieboda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 24 lis 2020, o 21:20
Płeć: Mężczyzna
wiek: 31

Re: Zbieżność szeregu

Post autor: wojciechswieboda »

Bardzo dziękuję za pomoc!
ODPOWIEDZ