Zbieżność szeregu
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 24 lis 2020, o 21:20
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 31
Zbieżność szeregu
Witam serdecznie,
mam za zadanie zbadać zbieżność szeregu podanego poniżej ale nie wiem jak się do tego zabrać
\(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty} \frac{\left( n + 7\right) 9^{n} }{ 2^{n}\cdot 3^{n+1} }}\)
Serdecznie dziekuję za każdą formę pomocy!
mam za zadanie zbadać zbieżność szeregu podanego poniżej ale nie wiem jak się do tego zabrać
\(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty} \frac{\left( n + 7\right) 9^{n} }{ 2^{n}\cdot 3^{n+1} }}\)
Serdecznie dziekuję za każdą formę pomocy!
Ostatnio zmieniony 24 lis 2020, o 21:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Zbieżność szeregu
Można zastosować kryterium d'Alemberta. Jak ktoś woli, to może też od razu sprawdzić warunek konieczny:
jest \(\displaystyle{ 9^{n}>6^{n}}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{(n+7)9^{n}}{2^{n}3^{n+1}}=\frac{n+7}{3}\cdot \frac{9^{n}}{6^{n}}>\frac{n+7}{3}}\)
a oczywiście
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{n+7}{3}=+\infty}\),
toteż szereg jest rozbieżny, gdyż warunek konieczny zbieżności nie jest spełniony.
jest \(\displaystyle{ 9^{n}>6^{n}}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{(n+7)9^{n}}{2^{n}3^{n+1}}=\frac{n+7}{3}\cdot \frac{9^{n}}{6^{n}}>\frac{n+7}{3}}\)
a oczywiście
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{n+7}{3}=+\infty}\),
toteż szereg jest rozbieżny, gdyż warunek konieczny zbieżności nie jest spełniony.
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 24 lis 2020, o 21:20
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 31
Re: Zbieżność szeregu
Bardzo dziękuję! Rozjaśniło się nareszcie, a stosując kryterium d'Alemberta jak by wyglądało rozwiązanie tej zbieżności?
-
- Administrator
- Posty: 34199
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5197 razy
Re: Zbieżność szeregu
A wiesz, co to jest kryterium d'Alemberta? Jaki masz kłopot z samodzielnym jego zastosowaniem?
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 24 lis 2020, o 21:20
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 31
Re: Zbieżność szeregu
Witam, tak znam poniżej moja próba, czy wszystko sie zgadza?
\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+8) 9^{n+1}}{ 2^{n+1} \cdot 3^{n+1} \cdot 3 } \cdot \frac{ 2^{n} \cdot 3^{n+1} }{(n+7) 9^{n} } = \\
\frac{(n+8) 9^{n} \cdot 9 }{ 2^{n} \cdot 2 \cdot 3^{n} \cdot 3 \cdot 3 } \cdot \frac{2^{n} \cdot 3^{n} \cdot 3 }{(n+7) 9^{n} } = \\
\frac{(n+8) 9^{n} \cdot 9 }{ 6^{n} \cdot 18 } \cdot \frac{ 6^{n} \cdot 3}{(n+7) 9^{n} } = \\
\frac{9n+72}{18} \cdot \frac{3}{n+7} = \frac{n(9+ \frac{72}{n})}{18} \cdot \frac{3}{n(1+ \frac{7}{n})} = \\
\frac{9}{18} \cdot \frac{3}{1} = \frac{9}{6} \cdot 1= \frac{3}{2} > 1 }\)
\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+8) 9^{n+1}}{ 2^{n+1} \cdot 3^{n+1} \cdot 3 } \cdot \frac{ 2^{n} \cdot 3^{n+1} }{(n+7) 9^{n} } = \\
\frac{(n+8) 9^{n} \cdot 9 }{ 2^{n} \cdot 2 \cdot 3^{n} \cdot 3 \cdot 3 } \cdot \frac{2^{n} \cdot 3^{n} \cdot 3 }{(n+7) 9^{n} } = \\
\frac{(n+8) 9^{n} \cdot 9 }{ 6^{n} \cdot 18 } \cdot \frac{ 6^{n} \cdot 3}{(n+7) 9^{n} } = \\
\frac{9n+72}{18} \cdot \frac{3}{n+7} = \frac{n(9+ \frac{72}{n})}{18} \cdot \frac{3}{n(1+ \frac{7}{n})} = \\
\frac{9}{18} \cdot \frac{3}{1} = \frac{9}{6} \cdot 1= \frac{3}{2} > 1 }\)
Ostatnio zmieniony 25 lis 2020, o 15:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34199
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5197 razy
Re: Zbieżność szeregu
Dotąd się zgadza, poza tym, że bardzo nieefektywnie wykonujesz niezbędne rachunki.wojciechswieboda pisze: ↑25 lis 2020, o 12:25 Witam, tak znam poniżej moja próba, czy wszystko sie zgadza?
\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+8) 9^{n+1}}{ 2^{n+1} \cdot 3^{n+1} \cdot 3 } \cdot \frac{ 2^{n} \cdot 3^{n+1} }{(n+7) 9^{n} } = \\
\frac{(n+8) 9^{n} \cdot 9 }{ 2^{n} \cdot 2 \cdot 3^{n} \cdot 3 \cdot 3 } \cdot \frac{2^{n} \cdot 3^{n} \cdot 3 }{(n+7) 9^{n} } = \\
\frac{(n+8) 9^{n} \cdot 9 }{ 6^{n} \cdot 18 } \cdot \frac{ 6^{n} \cdot 3}{(n+7) 9^{n} } = \\
\frac{9n+72}{18} \cdot \frac{3}{n+7} = \frac{n(9+ \frac{72}{n})}{18} \cdot \frac{3}{n(1+ \frac{7}{n})}}\)
A tu już się nie zgadza, bo nie wolno przejścia granicznego zastępować równością (poza tym należałoby najpierw uprościć, a dopiero potem przejść do granicy). Jak to poprawisz, to będzie dobrze.wojciechswieboda pisze: ↑25 lis 2020, o 12:25\(\displaystyle{ \frac{n(9+ \frac{72}{n})}{18} \cdot \frac{3}{n(1+ \frac{7}{n})}= \frac{9}{18} \cdot \frac{3}{1} = \frac{9}{6} \cdot 1= \frac{3}{2} > 1 }\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 24 lis 2020, o 21:20
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 31