Zbadać zbieżność szeregu

[wiola0326]

Mam pytanie odnośnie jednego zadania ze zbioru Banaś Wędrychowicz, otóż do sprawdzenia była zbieżność szezregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \ln\left( \frac{n- \alpha}{n+1}\right) }\) dla \(\displaystyle{ \alpha >0 }\)
w odpowiedziach jest:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } \frac{ \ln(\frac{n- \alpha}{n+1})}{\frac{1}{n}}=-1-\alpha }\) dla \(\displaystyle{ \alpha>0}\) szereg rozbieżny

Rozumiem jak została obliczona granica, ale wniosek mnie nurtuje.
Moje pytanie: skoro skorzystano z kryterium ilorazowego, dzieląc szereg przez (rozbieżny) szereg harmoniczny, to dlaczego gdy \(\displaystyle{ \alpha>0}\) szereg jest rozbieżny? Wtedy granica będzie zawsze mniejsza niż \(\displaystyle{ 0}\).
Czy jednak skorzystano z innego kryterium?

[Janusz Tracz]

skoro skorzystano z kryterium ilorazowego, dzieląc szereg przez (rozbieżny) szereg harmoniczny, to dlaczego gdy \(\displaystyle{ \alpha>0}\) szereg jest rozbieżny?

Nie dzielimy szeregów tylko wyrazy szeregów. Intuicja jest taka, że skoro \(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } \frac{ \ln\left( \frac{n- \alpha}{n+1}\right) }{\frac{1}{n}}=-1-\alpha }\) to dla dużych \(\displaystyle{ n}\) zachodzi niezłe szacowanie \(\displaystyle{ \ln\left( \frac{n- \alpha}{n+1}\right) \approx \left( -1- \alpha \right) \cdot \frac{1}{n} }\) zatem od pewnego momentu \(\displaystyle{ N}\) na szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=N}^{\infty} \ln \left( \frac{n- \alpha}{n+1}\right) }\) można patrzeć (nie popełniając dużego błędu) jak na szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=N}^{ \infty } \left( -1- \alpha \right) \cdot \frac{1}{n} }\), który jest rozbieżny zatem badany szereg też. Istotne jest jedynie to, że \(\displaystyle{ -1- \alpha \neq 0}\).