Obliczanie sumy szeregu.

[librusss]

Stosując twierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumę podanego
szeregu:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)2^n}$$

[a4karo]

Poszukaj na tym forum. Było, i to nie raz

[librusss]

Poszukaj na tym forum. Było, i to nie raz

Ten przykład nie (a szukałem), a co za tym idzie - nadal nie potrafię go wykonać.

[Premislav]

Wskazówka: gdy \(\displaystyle{ |x|<1, \ x\neq 0}\) (oczywiście \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\) spełnia taki warunek), to
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}x^{n}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}x^{n+1}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\int_{0}^{x}t^{n}\mbox{d}t\right)=\ldots}\)
Następnie zamień kolejność całkowania i sumowania z odpowiedniego twierdzenia.

[librusss]

Niestety nie wiem co dalej...

[Premislav]

Stosowne twierdzenie, które pozwala Ci zamienić kolejność tych operacji, masz wręcz w treści zadania, wystarczy się z nim zapoznać.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_pot%C4%99gowy#Ca%C5%82kowanie_i_r%C3%B3%C5%BCniczkowanie

Zatem zapewne czekasz na gotowe rozwiązanie. Ja go nie napiszę, gdyż wiele razy robiłem takie rzeczy i nie ma w tym nic ciekawego, ale powodzenia.

[librusss]

Stosowne twierdzenie, które pozwala Ci zamienić kolejność tych operacji, masz wręcz w treści zadania, wystarczy się z nim zapoznać.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_pot%C4%99gowy#Ca%C5%82kowanie_i_r%C3%B3%C5%BCniczkowanie

Zatem zapewne czekasz na gotowe rozwiązanie. Ja go nie napiszę, gdyż wiele razy robiłem takie rzeczy i nie ma w tym nic ciekawego, ale powodzenia.

Coś udało mi się stworzyć, jednak nie zgadza się z odpowiedzią z końca książki, mógłby ktoś zweryfikować, co robię źle?

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}x^n = \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \int_{0}^{x} t^n\right) = \frac{1}{x} \cdot \int_{0}^{x} \left( \sum_{n=1}^{\infty} t^n\right) dt = \frac{-1}{x}\left( \int_{0}^{x} \left( \frac{t}{t-1}\right) dt\right) = ...$$
Podstawmy, niech \(\displaystyle{ w = t - 1, dw = dt}\), wówczas:
$$... = \frac{-1}{x} \left( \int_{0}^{x}(1+\frac{1}{w}\right) dw = \frac{-1}{x} ([w+ \ln|w|]_{0}^{x}) = \frac{-1}{x} ([t-1+ \ln|t-1|]_{0}^{x}) = \frac{-1}{x} \cdot (x+\ln|x-1|)$$
Niech teraz \(\displaystyle{ x = 0.5}\), mamy:
$$\frac{1}{(n+1)2^n} = -2\left( \frac{1}{2} + \ln\left( \frac{1}{2}\right) \right) = -1 - 2\ln\left( \frac{1}{2}\right) .$$

[Premislav]

Przy podstawieniu \(\displaystyle{ w=t-1}\) nie zmieniłeś granic całkowania. Jeśli \(\displaystyle{ t}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ x}\), to \(\displaystyle{ t-1}\) zmienia się od minus jedynki do \(\displaystyle{ x-1}\).

[librusss]

Przy podstawieniu \(\displaystyle{ w=t-1}\) nie zmieniłeś granic całkowania. Jeśli \(\displaystyle{ t}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ x}\), to \(\displaystyle{ t-1}\) zmienia się od minus jedynki do \(\displaystyle{ x-1}\).

Zastosowałem tę uwagę, ale coś nadal nie gra, mam:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}x^n = \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \int_{0}^{x} t^n\right) = \frac{1}{x} \cdot \int_{0}^{x} \left( \sum_{n=1}^{\infty} t^n\right) dt = \frac{-1}{x}\left( \int_{0}^{x} \left( \frac{t}{t-1}\right) dt \right) = ...$$
Podstawmy, niech \(\displaystyle{ w = t - 1, dw = dt}\), wówczas:
$$... = \frac{-1}{x} \left( \int_{-1}^{x-1}\left( 1+\frac{1}{w}\right) \right) dw = \frac{-1}{x} ([w+ \ln|w|]_{-1}^{x-1}) = \frac{-1}{x} ([t-1+ \ln|t-1|]_{-1}^{x-1}) = \frac{-1}{x} \cdot (x-2 + \ln|x-2| - (-2 + \ln(2))) =$$
$$= \frac{-1}{x} (x+\ln|x-2|-\ln(2)).$$
Niech teraz \(\displaystyle{ x = 0.5}\), mamy:
$$\frac{1}{(n+1)2^n} = -2\left( \frac{1}{2} + \ln\left( \frac{3}{2}\right) - \ln(2)\right) = -1 - 2\ln\left( \frac{3}{2}\right) + 2\ln(2).$$
Nadmienię tylko, że prawidłowa odpowiedź do tego zadania wynosi:
$$ = 2\ln(2).$$

[Premislav]

Przy podstawieniu \(\displaystyle{ w=t-1}\) nie zmieniłeś granic całkowania. Jeśli \(\displaystyle{ t}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ x}\), to \(\displaystyle{ t-1}\) zmienia się od minus jedynki do \(\displaystyle{ x-1}\).

Podstawmy, niech \(\displaystyle{ w = t - 1, dw = dt}\), wówczas:
$$ \frac{-1}{x} ([w+ \ln|w|]_{-1}^{x-1}) = \frac{-1}{x} ([t-1+ \ln|t-1|]_{-1}^{x-1}) = \frac{-1}{x} \cdot (x-2 + \ln|x-2| - (-2 + \ln(2))) $$
$$

Tu jest źle (pierwsza równość). Po co znów zmieniasz zmienną, nie zmieniając granic całkowania Po zmianie granic całkowania nie musisz do niej wracać, w dodatku to spowodowało kolejną pomyłkę.

[librusss]

Przy podstawieniu \(\displaystyle{ w=t-1}\) nie zmieniłeś granic całkowania. Jeśli \(\displaystyle{ t}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ x}\), to \(\displaystyle{ t-1}\) zmienia się od minus jedynki do \(\displaystyle{ x-1}\).

Podstawmy, niech \(\displaystyle{ w = t - 1, dw = dt}\), wówczas:
$$ \frac{-1}{x} ([w+ \ln|w|]_{-1}^{x-1}) = \frac{-1}{x} ([t-1+ \ln|t-1|]_{-1}^{x-1}) = \frac{-1}{x} \cdot (x-2 + \ln|x-2| - (-2 + \ln(2))) $$
$$

Tu jest źle (pierwsza równość). Po co znów zmieniasz zmienną, nie zmieniając granic całkowania Po zmianie granic całkowania nie musisz do niej wracać, w dodatku to spowodowało kolejną pomyłkę.

OK, nie poddaję się Więc nie będę zmieniał powrotnie zmiennej z "w" na "t", mam więc:
$$ \frac{-1}{x} ([w+ \ln|w|]_{-1}^{x-1}) = \frac{-1}{x} \cdot [x-1 + \ln|x-1|+1] = -1 - \frac{\ln|x-1|}{x}$$
Podstawiając x = 0.5, równe jest to -1 - 2 \ln( \frac{1}{2}) - nota bene, powstaje to co w moim pierwszym wadliwym rozwiązaniu, gdy nie zmieniałem granic całkowania - odpowiedź wg książki nadal nieprawidłowa

[Premislav]

Być może w książce były inne granice sumowania, mianowicie
\(\displaystyle{ \sum_{n=\red{0}}^{\infty}\frac{1}{(n+1)2^{n}}}\).
Równość
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)2^{n}}=-1-2\ln\left(\frac{1}{2}\right)}\) jest bowiem prawdziwa (choć można jeszcze przekształcić \(\displaystyle{ -1-2\ln\left(\frac{1}{2}\right)=2\ln 2-1}\)), czyli na tak postawione, jak w wątku, zadanie, masz dobrą odpowiedź.