Zbadać zbieżność szeregu z definicji:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} 2n-1}\)
Zbieżność szeregu z definicji
Zbieżność szeregu z definicji
Ostatnio zmieniony 19 wrz 2020, o 13:54 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niedozwolony zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Niedozwolony zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm.
-
Kedzierski
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 20 wrz 2020, o 08:54
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
Re: Zbieżność szeregu z definicji
Przypomnijmy definicję zbieżności: 
Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}a_n}\) jest zbieżny \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) ciąg sum częściowych \(\displaystyle{ S_m = \sum_{n = 1}^m a_n}\) jest zbieżny.
W twoim przypadku \(\displaystyle{ S_m = \sum_{n = 1}^m (2n - 1) = \left(2 \sum_{n = 1}^m n \right) - m = 2\frac{m(m+1)}{2} - m = m^2 \rightarrow \infty}\), gdy \(\displaystyle{ m \rightarrow \infty}\). Ciąg sum częściowych nie jest zbieżny, więc i szereg nie jest zbieżny.
Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}a_n}\) jest zbieżny \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) ciąg sum częściowych \(\displaystyle{ S_m = \sum_{n = 1}^m a_n}\) jest zbieżny.
W twoim przypadku \(\displaystyle{ S_m = \sum_{n = 1}^m (2n - 1) = \left(2 \sum_{n = 1}^m n \right) - m = 2\frac{m(m+1)}{2} - m = m^2 \rightarrow \infty}\), gdy \(\displaystyle{ m \rightarrow \infty}\). Ciąg sum częściowych nie jest zbieżny, więc i szereg nie jest zbieżny.