Szereg z kwadratami w mianowniku

[pkrwczn]

Zadanie polega na pokazaniu, że \(\displaystyle{ \frac{1}{1^2 \cdot2^2\cdot 3^2} + \frac{1}{2^2\cdot 3^2 \cdot4^2} + \frac{1}{3^2 \cdot4^2 \cdot5^2} +...= \frac{4\pi^2 -39}{16} }\).

[Janusz Tracz]

Zauważ, że:

\(\displaystyle{ \frac{1}{(n-1)^2n^2(n+1)^2}= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{(n-1)^2}+\frac{1}{n^2}+ \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{(n+1)^2}+ \frac{3}{4} \left( \frac{1}{n+1}- \frac{1}{n-1} \right) }\)

Zatem:

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{(n-1)^2n^2(n+1)^2}=\underbrace{\frac{1}{4} \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{(n-1)^2}+\sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n^2}+ \frac{1}{4} \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{(n+1)^2}}_{\text{to są znane sumy}} + \underbrace{\frac{3}{4} \sum_{n=2}^{ \infty } \left( \frac{1}{n+1}- \frac{1}{n-1} \right)}_{\text{to się teleskopuje}} }\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{(n-1)^2n^2(n+1)^2}= \frac{ \pi ^2}{24} + \frac{ \pi ^2}{6} -1+ \frac{1}{4}\left( \frac{ \pi ^2}{6} - \frac{5}{4} \right) - \frac{9}{8} }\)

[albanczyk123456]

Spróbuj rozłożyć ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{(n(n+1)(n+2)^{2}}}\) na ułamki proste. Co teraz dostrzegasz?