Suma szeregu

[MartinYakuza]

Oblicz sumę szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{2j^2+2j+1} }\)

Próbowałem to liczyć, bez skutku. Może jakaś podpowiedź z jakiej metody skorzystać?

[Premislav]

Dość przydatny może być ustęp „an infinite sum" stąd:

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Residue_theorem

Trzeba jednakowoż trochę to zmodyfikować.

No i residuum dla \(\displaystyle{ f(z)\ctg(\pi z)=\frac{\ctg(\pi z)}{2z^{2}+2z+1}}\) liczymy oczywiście, zamiast w zerze, w punktach spełniających \(\displaystyle{ 2z^{2}+2z+1=0}\), tj. \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\pm \frac{i}{\sqrt{2}}}\)
(kontur dobieramy w ten sposób, by wewnątrz znalazł się co najmniej jeden z tych punktów).

Dodano po 14 minutach 6 sekundach:
A jakby to podejście nie działało w jakichś detalach (funkcje analityczne robiłem z 5 lat temu i mało pamiętam), to tu masz prawie że gotowca.
Szereg z sumą kwadratów

W ten sposób można obliczyć \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}, \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^{2}+1}=\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+\frac{1}{4}}}\), a następnie zauważyć, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{2j^{2}+2j+1}=\frac{2}{4j^{2}+4j+2}=\frac{2}{(2j+1)^{2}+1}}\) i że wobec tego
\(\displaystyle{ \sum_{j\ge 0}^{}\frac{1}{2j^{2}+2j+1}=2\left(\sum_{j\ge 0}^{}\frac{1}{j^{2}+1}-\sum_{j\ge 0}^{}\frac{1}{(2j)^{2}+1}\right)}\)

[MartinYakuza]

\(\displaystyle{ \sum_{j\ge 0}^{}\frac{1}{2j^{2}+2j+1}=2\left(\sum_{j\ge 0}^{}\frac{1}{j^{2}+1}-\sum_{j\ge 0}^{}\frac{1}{(2j)^{2}+1}\right)}\)

Może to jest oczywiste, ale nie widzę skąd to przekształcenie.

[Premislav]

Zacznijmy od tego, że
\(\displaystyle{ \sum_{j\ge 0}\frac{1}{j^{2}+1}=\sum_{j\ \ge 0, 2 \text{ dzieli } j}^{}\frac{1}{j^{2}+1}+\sum_{j\ge 0, 2 \text{ nie dzieli } j}^{}\frac{1}{j^{2}+1}}\)
To, że jakaś liczba całkowita \(\displaystyle{ j}\) jest podzielna przez dwa, oznacza, że istnieje takie \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\), że \(\displaystyle{ j=2k}\). To, że jakaś liczba całkowita \(\displaystyle{ j}\) jest niepodzielna przez dwa, oznacza, że istnieje takie \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\), iż \(\displaystyle{ j=2k+1}\).
W pierwszym przypadku, skoro u nas \(\displaystyle{ j=0,2,4\ldots}\), to \(\displaystyle{ k=0,1,2\ldots}\), a w drugim przypadku, skoro zgodnie z naszym zakresem sumowania interesują nas \(\displaystyle{ j=1,3,5\ldots}\), to również \(\displaystyle{ k=0,1,2\ldots}\)
W ten sposób mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k\ge 0}^{}\frac{1}{(2k+1)^{2}+1}=\sum_{j\ge 0}^{}\frac{1}{j^2+1}-\sum_{k\ge 0}^{}\frac{1}{(2k)^{2}+1}}\) a po pomnożeniu stronami przez dwa
\(\displaystyle{ \sum_{k\ge 0}^{}\frac{1}{2k^{2}+2k+1}=2\left(=\sum_{j\ge 0}^{}\frac{1}{j^2+1}-\sum_{k\ge 0}^{}\frac{1}{(2k)^{2}+1} \right) }\)
no i sobie w głowie zamieniłem \(\displaystyle{ k}\) na \(\displaystyle{ j}\), bo nazwa indeksu nie wpływa na sumę (to mogło wprowadzić odrobinę zamieszania), tak samo jak Wojtyła mówił „age is just a number".

[Janusz Tracz]

Inny wygodny sposób to zacząć od sumy po całym \(\displaystyle{ \ZZ}\). Wtedy mamy:

\(\displaystyle{ \sum_{j\in\ZZ} \frac{1}{2j^2+2j+1} =\red{\sum_{- \infty \le j \le -1}\frac{1}{2j^2+2j+1}} +\blue{\sum_{0 \le j \le \infty }\frac{1}{2j^2+2j+1}} = }\)

Teraz okazuje się, że niebieskie to suma której szukamy a z czerwoną trzeba się trochę pobawić. Dalej mamy więc:

\(\displaystyle{ =\red{\sum_{\infty \ge -j \ge 1}\frac{1}{2j^2+2j+1}} +\blue{\sum_{0 \le j \le \infty }\frac{1}{2j^2+2j+1}} = }\)

\(\displaystyle{ =\red{\sum_{\infty \ge \underbrace{-j-1}_{\text{nazwijmy to } k} \ge 0}\frac{1}{2j^2+2j+1}} +\blue{\sum_{0 \le j \le \infty }\frac{1}{2j^2+2j+1}} = }\)

\(\displaystyle{ =\red{\sum_{0 \le k \le \infty }\frac{1}{2(-k-1)^2+2(-k-1)+1}} +\blue{\sum_{0 \le j \le \infty }\frac{1}{2j^2+2j+1}} = }\)

\(\displaystyle{ =\red{\sum_{0 \le k \le \infty }\frac{1}{2k^2+2k+1}} +\blue{\sum_{0 \le j \le \infty }\frac{1}{2j^2+2j+1}}=}\)

Okazuje się więc, że czerwona suma od samego początku była równa sumie niebieskiej, wszak różnica polega jedynie na różnym oznaczeni zmiennej sumowania (czyli jest to jedynie wizualna różnica). Zatem:

\(\displaystyle{ =2\blue{\sum_{0 \le j \le \infty }\frac{1}{2j^2+2j+1}} }\)

A to pozwala napisać:

\(\displaystyle{ \blue{\sum_{0 \le j \le \infty }\frac{1}{2j^2+2j+1}}= \frac{1}{2}\sum_{j\in\ZZ} \frac{1}{2j^2+2j+1} }\)

jednak czarną sumę łatwo policzyć opierając się na wspomnianej teorii residuów. Co daje:

\(\displaystyle{ \blue{\sum_{0 \le j \le \infty }\frac{1}{2j^2+2j+1}}= -\frac{1}{2}\left( \Res\left\{\frac{ \pi \cot \left( \pi z\right) }{2z^2+2z+1} , \frac{-1-i}{2} \right\} +\Res\left\{\frac{ \pi \cot \left( \pi z\right) }{2z^2+2z+1} ,\frac{-1+i}{2} \right\} \right)=\frac{ \pi }{2}\text{tgh}\left( \frac{ \pi }{2} \right) }\)