Zbadać zbieżność szeregu.
-
pawlo392
- Użytkownik
- Posty: 1085
- Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło/Kraków
- Podziękował: 270 razy
- Pomógł: 34 razy
Zbadać zbieżność szeregu.
Mam problem z takim szeregiem \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{2^n+x^{2n}} }\). Dla jakich wartości \(\displaystyle{ x}\) będzie on zbieżny?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Zbadać zbieżność szeregu.
Zauważmy, że dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ a,b\in \RR}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{ab}{a^{2}+b^{2}}\le \frac{1}{2}}\), równoważnie:
\(\displaystyle{ ab\le \frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)\\0\le \frac{1}{2}(a-b)^{2}}\)
Połóżmy teraz \(\displaystyle{ a=\left|x^{n}\right|, \ b=2^{\frac{n}{2}}}\), a otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{2^{\frac{n}{2}}\left|x^{n}\right|}{2^{n}+x^{2n}}\le \frac{1}{2}\\ \frac{|x|^{n}}{2^{n}+x^{2n}}\le \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n}{2}+1}}\)
i kryterium porównawcze ze zbieżnym szeregiem geometrycznym załatwia sprawę. Szereg jest zbieżny bezwzględnie dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in \RR}\).
\(\displaystyle{ \frac{ab}{a^{2}+b^{2}}\le \frac{1}{2}}\), równoważnie:
\(\displaystyle{ ab\le \frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)\\0\le \frac{1}{2}(a-b)^{2}}\)
Połóżmy teraz \(\displaystyle{ a=\left|x^{n}\right|, \ b=2^{\frac{n}{2}}}\), a otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{2^{\frac{n}{2}}\left|x^{n}\right|}{2^{n}+x^{2n}}\le \frac{1}{2}\\ \frac{|x|^{n}}{2^{n}+x^{2n}}\le \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n}{2}+1}}\)
i kryterium porównawcze ze zbieżnym szeregiem geometrycznym załatwia sprawę. Szereg jest zbieżny bezwzględnie dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in \RR}\).