badanie zbieżności szeregów

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
Elepet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 12 lut 2019, o 11:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: badanie zbieżności szeregów

Post autor: Elepet »

Zapewniam, że pozostałe przykłady zrobiłem dobrze. Do końca tego wątku będę miał piętno na sobie, że nie wiem w ogóle co robię ? Zrozumiałem w czym robiłem błąd, ale teraz rzeczywiście trafiłem na ścianę.

Teraz rozumiem, że to mogło wyglądać dziwnie. Ja potrzebuje jedynie wyników, dlatego nie rozpisałem się w przykładzie powyżej i napisałem wyłącznie wynik. Jestem rozliczany wyłącznie z wyników.

Dobrze panie JK, rozpisał pan najprostszy przykład z tych które zaprezentowałem i uznaje pan, że już wyczerpał temat ? Obawiam się, że nie. Przykłady, które mi zostały do zrobienia znacząco się różnią i proszę po raz kolejny o pomoc przy ich rozwiązaniu. Rozpisałem do jakiego momentu umiem zrobić przykłady i dalej nie wiem co należało by zrobić.

Dobrze, będę teraz umieszczał całościowy zapis, a nie sam wynik bo może to być rzeczywiście źle zinterpretowane. Wcześniej nie zdawałem sobie sprawy, że każdy na tym forum jest tak wyczulony na poprawny zapis wszystkiego. Jestem gościem, więc szanuje takie zasady i będę się do nich stosował. Moja pomyłka.
Dziwisz się, że jeśli pod długim tłumaczeniu nadal wypisujesz coś takiego
Elepet pisze: 11 lip 2020, o 12:34 zad 1 Kryterium d'Alemberta

c) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(0.7n)^n} = \lim_{n\to \infty} \frac{n!(n+1)}{(0.7(n+1))^{n+1}} \times \frac{(0.7n)^n}{n!} =
\lim_{n\to \infty} \frac{n+1}{(0.7n+0.7)^n(0.7n+0.7)} \times \frac{(0.7n)^n}{1} }\)


zad 2 Kryterium Cauchy'ego

c) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}(\frac{3n+1}{2n})^{n^2} = \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2^n}(\frac{3n+1}{2n})^{n^2}} =
\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt[n]{1}}{2}(\frac{3n+1}{2n})^n }\)


d) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3n)^3}{(0.3e)^n} = \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{(3n)^3}{(0.3e)^n}} = \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt[n]{(3n)^3}}{0.3e} }\)
to nam się w końcu odechciewa tłumaczyć?
To proszę mi w takim razie powiedzieć co jest z tym nie tak ? Zwyczajnie nie wiem jak mogę to uprościć, żeby otrzymać wynik. Jak to się ma do tego przykładu, który pan rozpisał i który zaznaczam ponownie zrobiłem w taki sam sposób w zeszycie, tylko tutaj napisałem sam wynik.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: badanie zbieżności szeregów

Post autor: Jan Kraszewski »

Elepet pisze: 11 lip 2020, o 15:06 To proszę mi w takim razie powiedzieć co jest z tym nie tak ? Zwyczajnie nie wiem jak mogę to uprościć, żeby otrzymać wynik. Jak to się ma do tego przykładu, który pan rozpisał i który zaznaczam ponownie zrobiłem w taki sam sposób w zeszycie, tylko tutaj napisałem sam wynik.
No to pierwszy przykład:
Elepet pisze: 11 lip 2020, o 12:34 zad 1 Kryterium d'Alemberta

c) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(0.7n)^n} \red{=} \lim_{n\to \infty} \frac{n!(n+1)}{(0.7(n+1))^{n+1}} \times \frac{(0.7n)^n}{n!} =
\lim_{n\to \infty} \frac{n+1}{(0.7n+0.7)^n(0.7n+0.7)} \times \frac{(0.7n)^n}{1} }\)
Po pierwsze, powinieneś już wiedzieć, że czerwona równość nie ma sensu. Czym innym jest suma szeregu, a czym innym badanie jego zbieżności za pomocą kryterium d'Alemberta, które sprowadza się do badania granicy \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{n!(n+1)}{(0.7(n+1))^{n+1}} \cdot \frac{(0.7n)^n}{n!} }\).

A dalej "trafiasz na ścianę", bo po prostu masz problemy z przekształceniami algebraicznymi oraz - co ważniejsze - nie nauczyłeś się liczyć granic ciągów. Czym innym jest bowiem policzenie kilku granic bez większego zrozumienia, a czym innym zrozumienie, na czym to liczenie polega. I właśnie dlatego matematyki (w tym wypadku analizy) uczysz się w pewnej kolejności: jak już opanujesz liczenie granic, to możesz przejść do badania szeregów, gdzie ta umiejętność jest niezbędna (na co Ci już moim przedpiścy już kilka razy zwracali uwagę).

Mogę Ci oczywiście pokazać, jak liczyć tę konkretną granicę, ale to oczywiście nie rozwiąże problemu. Mamy

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{n!(n+1)}{(0.7(n+1))^{n+1}} \cdot \frac{(0.7n)^n}{n!}=\lim_{n\to \infty}\frac{(n+1)\cdot (0,7)^n\cdot n^n}{(0,7)^{n+1}\cdot (n+1)^n\cdot (n+1)}= \lim_{n\to \infty}\frac{n^n}{0,7\cdot (n+1)^n}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{0,7\cdot \left( 1+\frac{1}{n}\right) ^n}=\frac{1}{0,7e}<1}\)

zatem szereg jest zbieżny. Ale to jest zupełnie standardowy rachunek. Podobnie jak pozostałe przykłady. I właśnie dlatego wszyscy odsyłają Cię do liczenia granic ciągów.

Może Cię to złościć, ale w matematyce nie ma drogi na skróty.

JK
Elepet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 12 lut 2019, o 11:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: badanie zbieżności szeregów

Post autor: Elepet »

Dziękuję, już sobie poradziłem. Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ