Zadanie na uproszczenie wyrażenia

[matfanka]

Dzień dobry,
mam problem z następującym zadaniem. Rozwiązałam podpunkty a, b, c, ale mam problem z d i automatycznie e. Napiszę całą treść, bo w tym zbiorze zadań często kolejne rozwiązania opierają się na użyciu poprzednich.

Suma jest zdefiniowana jako
\(\displaystyle{ s_{n}=2+8+24+\ldots+n2^n}\)
a) niech \(\displaystyle{ f(n)=(An+B)2^n+C}\) dla stałych \(\displaystyle{ A,B,C}\) i załóżmy, że \(\displaystyle{ s_n=f(n)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ n \ge 1}\). Podstawiając \(\displaystyle{ n=1,2,3}\) znajdź trzy równania, które będą spełnione przez \(\displaystyle{ A,B,C}\).
b) rozwiąż te równania

Otrzymałam \(\displaystyle{ A=2, B=-2, C=2}\)

c) używając trzech wartości pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ s_k=f(k)}\) dla jakiegoś \(\displaystyle{ k \ge 1}\) wówczas \(\displaystyle{ s_{k+1}=f(k+1)}\). Możesz przyjąć, że \(\displaystyle{ f(n)=s_n}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ n \ge 1}\)

Zrobiłam, otrzymałam \(\displaystyle{ s _{k+1}=2 ^{k+2}(k)+2=f(k+1)}\)

d) znajdź uproszczone wyrażenie dla sum:
\(\displaystyle{ t_n=n+2(n-1)+4(n-2)+8(n-3)+\ldots+2^{n-1} 1}\)
oraz
\(\displaystyle{ u_n = \frac{1}{2}+ \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \ldots + \frac{n}{2^n}}\)
e) znajdź sumę \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} s_k}\)


w d) myślałam nad zapisem:
\(\displaystyle{ (n+2N+4n+8n+2^n n)-(2+8+24+\ldots+1) }\) Mam problem, co z tym dalej zrobić, będę wdzięczna, jeśli ktoś wpadnie tu na jakiś pomysł.

[Dasio11]

w d) myślałam nad zapisem:
\(\displaystyle{ (n+2N+4n+8n+2^n n)-(2+8+24+\ldots+1) }\)

Pomijając niejasny zapis, pomysł jest dobry. Poprawnie byłoby na przykład tak:

\(\displaystyle{ \begin{align*}
t_n & = (n - 0) + (2n - 2) + (4n - 8) + \ldots + \big( 2^{n-1}n - (n-1)2^{n-1} \big) + \big( 2^n n - n 2^n \big) \\
& = \big( n + 2n + 4n + \ldots + 2^n n \big) - \big( 2 + 8 + \ldots + n 2^n \big) \\
& = n \big( 1+2+4+\ldots+2^n \big) - s_n
\end{align*}}\)

i dalej już widać.

Wskazówka do drugiego ciągu: oblicz \(\displaystyle{ 2^n \cdot u_n}\).

(e) Ta suma to inaczej \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n f(k)}\). Oblicz ją, korzystając ze wzoru na \(\displaystyle{ f(n)}\), w razie potrzeby używając znów ciągu \(\displaystyle{ s_n}\).

[matfanka]

\(\displaystyle{ \begin{align*}
t_n & = (n - 0) + (2n - 2) + (4n - 8) + \ldots + \big( 2^{n-1}n - (n-1)2^{n-1} \big) + \big( 2^n n - n 2^n \big) \\
& = \big( n + 2n + 4n + \ldots + 2^n n \big) - \big( 2 + 8 + \ldots + n 2^n \big) \\
& = n \big( 1+2+4+\ldots+2^n \big) - s_n
\end{align*}}\)

i dalej już widać.

Nie rozumiem jaka jest różnica pomiędzy \(\displaystyle{ 2 ^{n}n }\) a \(\displaystyle{ n2 ^{n} }\). Dlaczego to się nie zredukuje?
Dalej z tego zapisu wychodziłoby:
\(\displaystyle{ n2 ^{n}-s _{n} }\), co nie jest poprawną odpowiedzią...

[kerajs]

Może tak:
d)
\(\displaystyle{ t_n=n+2(n-1)+4(n-2)+8(n-3)+\ldots+2^{n-1} (n-(n-1))=\\=
n(1+2+...+2^{n-1})-(1 \cdot 2^2+2 \cdot 2^2+3 \cdot 2^3+...+(n-1)2^{n-1})=\\=n \cdot \frac{1-2^n}{1-2}-\left[ (2(n-1)-2)2^{n-1}+2\right]=...
}\)
oraz
\(\displaystyle{ u_n = \frac{1}{2}+ \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \ldots + \frac{n}{2^n}= \frac{t_n}{2^n} }\)

[matfanka]

Tu już kompletnie nie wiem skąd powstał iloraz. Pierwsze dwie linijki rozumiem, chociaż powinno w drugiej być chyba "1" w pierwszej potędze w drugim nawiasie.

[Dasio11]

\(\displaystyle{ t_n = (n - 0) + (2n - 2) + (4n - 8) + \ldots + \big( 2^{n-1}n - (n-1)2^{n-1} \big) + \big( 2^n n - n 2^n \big)}\)

Nie rozumiem jaka jest różnica pomiędzy \(\displaystyle{ 2 ^{n}n }\) a \(\displaystyle{ n2 ^{n} }\). Dlaczego to się nie zredukuje?

Samo nic "się nie redukuje" - to matematyk decyduje, jakie przekształcenie w danej chwili jest mu potrzebne. Wyrażenie \(\displaystyle{ 2^n n - n2^n}\), owszem, jest równe zero - z tego zresztą powodu można je było dopisać, mimo że wcześniej go tam nie było - ale ja akurat nie chciałem go redukować, tylko rozdzielić na dwie części.

Dalej z tego zapisu wychodziłoby: \(\displaystyle{ n2 ^{n}-s _{n} }\), co nie jest poprawną odpowiedzią...

Lepiej przelicz jeszcze raz, bo wychodzi na to, że zastosowałaś nieprawdziwy wzór \(\displaystyle{ 1+2+\ldots+2^n = 2^n}\).

[matfanka]

OK, rzeczywiście, powinien tu być wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego, ale to wówczas dałoby:
\(\displaystyle{ -n-s _{n} }\), nadal nie wiem, jak otrzymać odpowiedź z klucza \(\displaystyle{ 2 ^{n+1}-n-2 }\)

[kerajs]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ t_n=n+2(n-1)+4(n-2)+8(n-3)+\ldots+2^{n-1} (n-(n-1))=\\=
n(1+2+...+2^{n-1})-(1 \cdot 2^1+2 \cdot 2^2+3 \cdot 2^3+...+(n-1)2^{n-1})=\\=n \cdot \frac{1-2^n}{1-2}-\left[ (2(n-1)-2)2^{n-1}+2\right]=...
}\)

\(\displaystyle{ ...=n(2^n-1)-n2^n+4 \cdot 2^{n-1}-2=2^{n+1}-n-2}\)