Rozbieżność szeregu

[Jakub Gurak]

Czy może ktoś podać kontrprzykład pokazujący, że ciąg \(\displaystyle{ \left( x _{k} \right) }\) liczb rzeczywistych jest zbieżny, a szereg \(\displaystyle{ \sum_{k\in\NN_{+}}^{} \frac{x _{k} }{3 ^{k} } }\) jest rozbieżny. Też myślałem, że można by skorzystać z jednego z kryteriów, ale tu mam tylko niestety, że ciąg \(\displaystyle{ x}\) jest zbieżny, a nie ciąg jego kolejnych sum (szereg). Potrzebuje tego na dziś do zadania ze studiów.

[Dasio11]

Czy może ktoś podać kontrprzykład pokazujący, że ciąg \(\displaystyle{ \left( x _{k} \right) }\) liczb rzeczywistych jest zbieżny, a szereg \(\displaystyle{ \sum_{k\in\NN_{+}}^{} \frac{x _{k} }{3 ^{k} } }\) jest rozbieżny.

Nikt nie może tego zrobić, bo taki kontrprzykład nie istnieje, na co dowodem jest kryterium porównawcze z szeregiem \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{M}{3^k}}\), gdzie \(\displaystyle{ M = \sup_{k \in \NN_+} |x_k|}\).

[Jakub Gurak]

Jeszcze spytam: czy ciąg \(\displaystyle{ y_k=\left| x _{k} \right| }\) ma zbiór wyrazów ograniczony z góry. No bo żeby wziąć supremum musimy mieć zbiór ograniczony z góry.

[Premislav]

Skoro ciąg \(\displaystyle{ (x_{k})_{k\in \NN}}\) jest zbieżny (tj. ma granicę właściwą), to ciąg modułów także. No a ciąg zbieżny jest ograniczony (znany i prosty fakt).