Witam mam problem z zadaniem, nie wiem od czego zacząć, mimo kilku prób nie wychodzi. Czy mógłby mi ktoś powiedzieć, którego kryterium powinnam użyć, aby zbadać zbieżność poniżej podanego szeregu?
\(\displaystyle{ \sum_{ n=1}^{ \infty } \frac{(2n)!-n!}{n^{2n}-n^2} }\)
Które kryterium?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Które kryterium?
Ta suma powinna wyglądać inaczej, gdyż dla \(\displaystyle{ n=1}\) masz zero w mianowniku. Może miała być od dwójki.
Warunek konieczny zbieżności nie jest spełniony, jak ktoś zna wzór Stirlinga, to jest to ewidentne, ale można też oszacować wyraz z dołu.
\(\displaystyle{ (2n)!-n!>\frac{1}{2}\cdot (2n)!}\) dla dużych \(\displaystyle{ n}\), no i \(\displaystyle{ n^{2n}-n^{2}<n^{2n}}\).
Warunek konieczny zbieżności nie jest spełniony, jak ktoś zna wzór Stirlinga, to jest to ewidentne, ale można też oszacować wyraz z dołu.
\(\displaystyle{ (2n)!-n!>\frac{1}{2}\cdot (2n)!}\) dla dużych \(\displaystyle{ n}\), no i \(\displaystyle{ n^{2n}-n^{2}<n^{2n}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Które kryterium?
Mi się wydaje, że jest spełniony i ogólnie ten szereg jest zbieżny. Ze Stirlinga dostajesz coś rzędu \(\displaystyle{ \sqrt{n}\left(\frac{2}{e}\right)^{2n} \to 0}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Które kryterium?
O matko, nie wiem, jak ja na to patrzyłem.
Rzeczywiście, no to można zastosować kryterium ilorazowe z \(\displaystyle{ \frac{(2n)!}{n^{2n}}}\), a to już z kryterium d'Almeberta idzie.
Rzeczywiście, no to można zastosować kryterium ilorazowe z \(\displaystyle{ \frac{(2n)!}{n^{2n}}}\), a to już z kryterium d'Almeberta idzie.
Ostatnio zmieniony 12 maja 2020, o 12:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 10 mar 2018, o 18:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Które kryterium?
Można oszacować od góry ten szereg (ma on wartości dodatnie)
\(\displaystyle{ \frac{(2n)!-n!}{n^{2n}-n^2} < \frac{(2n)!}{n^{2n}} }\)
Drugi szereg jest zbieżny z kryterium ilorazowego, a więc i ten pierwszy też jest zbieżny, bo jest mniejszy od niego i dodatni.
\(\displaystyle{ \frac{(2n)!-n!}{n^{2n}-n^2} < \frac{(2n)!}{n^{2n}} }\)
Drugi szereg jest zbieżny z kryterium ilorazowego, a więc i ten pierwszy też jest zbieżny, bo jest mniejszy od niego i dodatni.
-
- Użytkownik
- Posty: 22233
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3759 razy
Re: Które kryterium?
A jak uzasadnisz takie szacowanie?Szustarol pisze: ↑12 maja 2020, o 12:29 Można oszacować od góry ten szereg (ma on wartości dodatnie)
\(\displaystyle{ \frac{(2n)!-n!}{n^{2n}-n^2} < \frac{(2n)!}{n^{2n}} }\)
Drugi szereg jest zbieżny z kryterium ilorazowego, a więc i ten pierwszy też jest zbieżny, bo jest mniejszy od niego i dodatni.