Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Posty: 11373 Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35Płeć: MężczyznaLokalizacja: KrakówPodziękował: 3153 razy Pomógł: 747 razy
Post
autor: mol_ksiazkowy 9 maja 2020, o 19:25
\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{+\infty} \left( 1+ \frac{1}{n^2}\right) =}\) ?
Ostatnio zmieniony 9 maja 2020, o 19:51 przez
Jan Kraszewski , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Janusz Tracz
Użytkownik
Posty: 4065 Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01Płeć: MężczyznaLokalizacja: hrubielowoPodziękował: 80 razy Pomógł: 1392 razy
Post
autor: Janusz Tracz 9 maja 2020, o 19:39
Ukryta treść:
Jest to szczególny przypadek dla
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_product#Product_representations_of_functions definiowanego poprzez iloczyn. Równoważność tej definicji wynika z tego co pamiętam z rozwinięcia
\(\displaystyle{ \cos \alpha x}\) w szereg Fouriera. Niemniej jednak kładąc
\(\displaystyle{ z=i}\) do:
\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{ \infty } \left( 1- \frac{z^2}{n^2} \right)= \frac{\sin \pi z}{ \pi z} }\)
\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{ \infty } \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) = \frac{\sin \pi i}{ \pi i} = \frac{\text{sh} \pi }{ \pi } }\)
