Czy ktoś mógłby mi podpowiedzieć jak rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(x) = \sin ^{3}x }\) w szeref Fouriera w przedzialne - \(\displaystyle{ \pi <x < \pi}\) ?
Próbując obliczyć współczynnik \(\displaystyle{ b _{n} }\) wychodzi mi całka, z którą nie umiem sobie poradzić: \(\displaystyle{ \frac{2}{ \pi } \int_{0}^{ \pi } \sin ^{3}x \sin nx dx }\). Znalazłem to, żeby użyć wzoru na sześcian sinusa, ale to i tak jest bardzo złożone działanie i nie wiem czy mam w to brnąć, czy jest jakiś alternatywny sposób, podpowiedź co z tą całką? Proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 11 kwie 2020, o 18:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Ja bym z tym postąpił tak:
mamy \(\displaystyle{ \sin(3x)=3\sin x-4\sin^{3}x}\), stąd wyliczamy, że \(\displaystyle{ \sin^{3} x=\frac{3}{4}\sin x-\frac{1}{4}\sin(3x)}\), korzystamy z liniowości całki, a następnie z tożsamości \(\displaystyle{ 2\sin (nx)\sin(mx)=\cos(nx-mx)-\cos(nx+mx)}\) dla odpowiednich \(\displaystyle{ m,n}\)
Spróbuj.
