Promień zbieżności szeregu potegowego - pomijanie wyrażenia

[Mondo]

Witam,

zastanawiam się dlaczego wyznaczając promień zbieżności szeregu potegowego \(\displaystyle{ a_n(x-a)^2}\) metodą D'Alamberta \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}}\) pomijamy wyraz \(\displaystyle{ (x-a)^n}\) ?

Przykład Wyznaczyc promien zbieżnoosci dla szeregu \(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } \frac{(x-2)^2}{n!} }\)
wiec korzystajac z wzpomnianej metody D'Alamberta wwyznacza się \(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{n!}}\) i dalej prowadzi się obliczenia wedle \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}}\) .

Wszystko super, tylko w tych obliczeniach zupelnie pominelismy \(\displaystyle{ (x-2)^n}\), pytanie więc, dlaczego moglismy zanidbać to wyrażnienie? Przecież nie jest to mała liczba!

[Premislav]

Najwyraźniej źle rozumiesz tę metodę, skoro ją tak opisujesz, nie jest prawdą, że tak sobie po prostu pomijasz to \(\displaystyle{ (x-a)^{n}}\).
Rozważmy szereg potęgowy
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^{n}}\)
Możemy go potraktować po prostu jak szereg liczbowy z parametrem \(\displaystyle{ x}\) i wtedy z kryterium d'Alemberta otrzymujemy, że gdy
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{\left|a_{n+1}(x-x_{0})^{n+1}\right|}{\left|a_{n}(x-x_{0})^{n}\right|}<1}\), to szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^{n}}\) jest bezwzględnie zbieżny, jeśli ta granica przekracza \(\displaystyle{ 1}\), to jest on rozbieżny, natomiast w przypadku, gdy rzeczona granica wynosi \(\displaystyle{ 1}\), nasze kryterium nie rozstrzyga problemu.
Po uproszczeniu mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{\left|a_{n+1}(x-x_{0})^{n+1}\right|}{\left|a_{n}(x-x_{0})^{n}\right|}=\lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\cdot
(x-x_{0})\right|}\)
Stąd już widzimy, że szereg potęgowy jak wyżej jest zbieżny, gdy \(\displaystyle{ |x-x_{0}|<\frac{1}{\lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}}\)
(przy nieco naciąganej konwencji, że \(\displaystyle{ „\frac{1}{0}=+\infty"}\)) i rozbieżny, gdy
\(\displaystyle{ |x-x_{0}|>\frac{1}{\lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}}\)

Ograniczenie tej metody, prócz przypadku, w którym kryterium nie rozstrzyga (wtedy zwykle się podstawia konkretne liczby za parametr) jest takie, że nie zawsze musi istnieć \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}\), ogólniejsza jest ta metoda z \(\displaystyle{ \limsup_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}}\) (czyli kryterium Cauchy'ego w tej ogólniejszej wersji), gdyż granica górna jest określona dla każdego ciągu.

[janusz47]

Są dwie szkoły (metody) obliczania promienia zbieżności i przedziału zbieżności szeregu potęgowego. Jedna w oparciu o twierdzenie Cauchy-Hadamara, w której uwzględnia się granice ilorazu współczynników \(\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right |}\) lub \(\displaystyle{ \left|\frac{a_{n}}{a_{n +1}} \right|}\) i druga , gdzie uwzględnia się ilorazy \(\displaystyle{ \frac{\left |a_{n}(x -a)^{n} \right|}{ \left|a_{n+1}(x -a)^{n+1} \right|} }\) lub \(\displaystyle{ \frac{\left |a_{n+1}(x -a)^{n+1} \right|}{ \left |a_{n}(x -a)^{n} \right|} }\)

Jedna i druga metoda prowadzą do tych samych wyników. W metodzie drugiej otrzymujemy od razu zakres przedziału zbieżności szeregu.