Szereg Fouriera z otwartym przedziałem

[p13]

Mam takie zadanie:

Niech \(\displaystyle{ \alpha \neq Z}\). Rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\cos( \alpha x), x \in \left[ - \pi , \pi \right] }\) w szereg Fouriera. Porównując wartości w \(\displaystyle{ x = 0}\) wyprowadzić wzór \(\displaystyle{ \frac{1}{\sin( \alpha \pi )} = \frac{1}{ \alpha \pi }+ 2 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1) ^{n} \alpha \pi }{( \alpha \pi ^{2} - (n \pi ) ^{2} } }\)

I tutaj moje pytanie odnośnie przedziału otwartego. Czy wtedy całka oznaczona we współczynnikach jest dalej oznaczona z wartościami z krańca przedziału? Czy ten otwarty przedział coś zmienia w porównaniu do zadań, gdzie przedział jest zamknięty?

[Janusz Tracz]

To dość znane zadanie zobacz tu

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/1818734/fourier-series-of-cosax

. Samego pytania o przedział otwarty (widzę jedynie zamknięty) i jakąś całkę nie rozumiem. Szereg Fouriera jest z definicji określony na przedziale domkniętym i taki tu mamy. A sama całka po ewentualnym wyrzuceniu pojedynczych punktów nie zmieni wartości (ale tak jak wspomniałem bez dokładniejszych szczegółów trudno by ktoś Ci pomógł).

[p13]

Aj przepraszam, źle napisałem bo w poleceniu mam przedział otwarty i własnie nie wiem czy to coś zmienia.

[Janusz Tracz]

Do samego całowania wymagany jest przedział domknięty

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Ca%C5%82ka_Riemanna

niemianej jednak usunięcie skończonej ilości punktów nie znamienia całki (jeśli wiemy już, ze funkcja jest całowana). Więc całkę liczysz tak samo jak w linkowanej odpowiedzi (tak jak po przedziale domkniętym).