Mam takie zadanie:
Niech \(\displaystyle{ \alpha \neq Z}\). Rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\cos( \alpha x), x \in \left[ - \pi , \pi \right] }\) w szereg Fouriera. Porównując wartości w \(\displaystyle{ x = 0}\) wyprowadzić wzór \(\displaystyle{ \frac{1}{\sin( \alpha \pi )} = \frac{1}{ \alpha \pi }+ 2 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1) ^{n} \alpha \pi }{( \alpha \pi ^{2} - (n \pi ) ^{2} } }\)
I tutaj moje pytanie odnośnie przedziału otwartego. Czy wtedy całka oznaczona we współczynnikach jest dalej oznaczona z wartościami z krańca przedziału? Czy ten otwarty przedział coś zmienia w porównaniu do zadań, gdzie przedział jest zamknięty?
Szereg Fouriera z otwartym przedziałem
-
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 10 lis 2019, o 20:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 18 razy
Szereg Fouriera z otwartym przedziałem
Ostatnio zmieniony 11 kwie 2020, o 14:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4076
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Szereg Fouriera z otwartym przedziałem
To dość znane zadanie zobacz tu . Samego pytania o przedział otwarty (widzę jedynie zamknięty) i jakąś całkę nie rozumiem. Szereg Fouriera jest z definicji określony na przedziale domkniętym i taki tu mamy. A sama całka po ewentualnym wyrzuceniu pojedynczych punktów nie zmieni wartości (ale tak jak wspomniałem bez dokładniejszych szczegółów trudno by ktoś Ci pomógł).
Kod: Zaznacz cały
https://math.stackexchange.com/questions/1818734/fourier-series-of-cosax
-
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 10 lis 2019, o 20:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 18 razy
Re: Szereg Fouriera z otwartym przedziałem
Aj przepraszam, źle napisałem bo w poleceniu mam przedział otwarty i własnie nie wiem czy to coś zmienia.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4076
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Szereg Fouriera z otwartym przedziałem
Do samego całowania wymagany jest przedział domknięty niemianej jednak usunięcie skończonej ilości punktów nie znamienia całki (jeśli wiemy już, ze funkcja jest całowana). Więc całkę liczysz tak samo jak w linkowanej odpowiedzi (tak jak po przedziale domkniętym).
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Ca%C5%82ka_Riemanna