A rozwinąłeś w szereg Fouriera podaną funkcję i obliczyłeś już sumę? Bo z kontekstu rozumiem, że tak. Wówczas wystarczy: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^{2}}=\frac{3}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}\)
i pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\)…
Premislav pisze: ↑10 kwie 2020, o 12:33 \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^{2}}=\frac{3}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}\)
i pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\)…
O dokładnie o takie przekształcenie mi chodziło, a wytłumaczyłbyś mi jak je zrobiłeś? Bo nie widzę tego rozkładu, sam bym na to nie wpadł.
W tej sumie: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}}\)
mamy dokładnie te składniki \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}\), które mają nieparzyste indeksy. Tj. możemy zapisać \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k)^{2}}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^{2}}}\)
Te sumy nie zależą od indeksów, więc równie dobrze możemy napisać \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^{2}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}}\)
Pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^{2}}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}\)
