Szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n}}{1 - z^{n}} }\)
nazywamy szeregiem Lamberta od nazwiska Johanna Heinricha Lamberta - matematyka, fizyka, filozofa szwajcarskiego, pochodzenia francuskiego, żyjącego w wieku osiemnastym.
Szereg nie jest określony, gdy \(\displaystyle{ z = \pm 1 }\)
Dla
\(\displaystyle{ |z|>1}\)
\(\displaystyle{ \frac{z^{n}}{1 - z^{n}} = \frac{1}{\frac{1}{z^{n}}-1} \rightarrow -1, \ \ n\rightarrow \infty }\)
\(\displaystyle{ -1 < z < 0 }\)
\(\displaystyle{ \left| \frac{z^{n}}{1 - z^{n}} \right|= \frac{|z|^{n}}{ |1 - z^{n}|} \leq \frac{|z|^{n}}{1 -|z|} \rightarrow 0, \ \ n\rightarrow \infty }\)
\(\displaystyle{ 0 \leq z < 1 }\)
\(\displaystyle{ \sqrt[n] { \frac{z^{n}}{1 - z^{n}}} = \frac{z}{\sqrt[n]{1 -z^{n}}} \rightarrow z < 1, \ \ n\rightarrow \infty. }\)
Niech \(\displaystyle{ |z|< 1, }\)
otrzymujemy kolejne rozwinięcia sum w szeregi geometryczne :
\(\displaystyle{ \frac{z}{1 -z} = z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6+...}\)
\(\displaystyle{ \frac{z^2}{1 -z^2} = \ \ \ \ z^2 + \ \ \ \ \ \ \ \ z^4 + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z^6 +...}\)
\(\displaystyle{ \frac{z^{3}}{1 - z^3} = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z^3 + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z^ 6 +... }\)
\(\displaystyle{ \frac{z^4}{1 -z^4} = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z^4 +...}\)
......................................................
Szereg geometryczny
\(\displaystyle{ |z^{k} | + |z|^{2k} + |z|^{3k} +... = \frac{|z|^{k}}{ 1 - |z|^{k}} }\) jest zbieżny bezwzględnie.
Sumując kolumnami powyższe rozwinięcia sum, otrzymujemy następującą postać szeregu Lamberta
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n}}{ 1 - z^{n}} = 1 z + 2z^2 + 2z^3 + 3z^4 + 2z^5 + 4z^6+...}\)
Współczynniki tego szeregu są wartościami funkcji, która liczbom naturalnym przyporządkowuje ilość dzielników całkowitych \(\displaystyle{ \tau: \NN \rightarrow \NN. }\)
Wykorzystując funkcję \(\displaystyle{ \tau }\), możemy szereg Lamberta zapisać w postaci
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n}}{ 1 - z^{n}} = \tau(1) z + \tau(2) z^2 + \tau(3) z^3 + \tau(4) z^4 + \tau(5) z^5 + \tau(6) z^6+...}\)