Obliczyć sumę szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{n-2}{5 ^{n} } }\)
Suma szeregu
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Suma szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}, \ |x|<1}\)
To jest raczej znane. Różniczkując tę równość stronami po \(\displaystyle{ x}\) (szeregi potęgowe różniczkujemy wyraz po wyrazie) mamy
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}\\\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}, \ |x|<1}\)
(trochę uwaga na \(\displaystyle{ x=0}\), ale tak się składa, że wówczas też równość zachodzi).
Teraz zapiszmy
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n-2}{5^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}n\left(\frac{1}{5}\right)^{n}-2\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}}\)
Korzystasz ze wzorków, które napisałem, podstawiając \(\displaystyle{ x:=\frac{1}{5}}\)i tyle.
To jest raczej znane. Różniczkując tę równość stronami po \(\displaystyle{ x}\) (szeregi potęgowe różniczkujemy wyraz po wyrazie) mamy
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}\\\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}, \ |x|<1}\)
(trochę uwaga na \(\displaystyle{ x=0}\), ale tak się składa, że wówczas też równość zachodzi).
Teraz zapiszmy
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n-2}{5^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}n\left(\frac{1}{5}\right)^{n}-2\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}}\)
Korzystasz ze wzorków, które napisałem, podstawiając \(\displaystyle{ x:=\frac{1}{5}}\)i tyle.