Witam. Mam do zbadania zbieżności następujących, czterech szeregów:
1) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } [\ln (2 + \frac{1}{n} )] ^{n+2} }\)
2) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1) ^{n} \arctan ( \frac{1}{ \sqrt{n} + 1} )}\)
3) \(\displaystyle{ \sum_{n=4}^{ \infty } \frac{\log (n + 1)}{n - 3} }\)
4) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\cos ( \sqrt{n} )}{n ^{2} + 3} }\)
Szeregi 2-4 zbadałem i znajdują się one poniżej, więc prosiłbym o sprawdzenie jak ktoś znajdzie chwilkę. Nie mam natomiast pomysłu jak się zabrać za szereg 1.
[ciach]
Zbadać zbieżność szeregu
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 1 lut 2020, o 21:15
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Lokalizacja: https://t.me/pump_upp
- Podziękował: 1 raz
Zbadać zbieżność szeregu
Ostatnio zmieniony 21 mar 2020, o 17:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieregulaminowy zapis - obrazki zamiast zapisu w LaTeX-u.
Powód: Nieregulaminowy zapis - obrazki zamiast zapisu w LaTeX-u.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Zbadać zbieżność szeregu
Pierwszy szereg nie spełnia nawet warunku koniecznego zbieżności, wyrazy szeregu nie dążą do zera. Na pewno dobrze to przepisałeś?
Dodano po 4 minutach 31 sekundach:
A nie, sorry, spełnia, mój błąd.
Dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}}\) mamy
\(\displaystyle{ 0<\ln\left(2+\frac{1}{n}\right)<\ln \left(\frac{5}{2}\right)}\)
i co za tym idzie
\(\displaystyle{ 0<\left(\ln\left(2+\frac{1}{n}\right)\right)^{n+2}<\left(\ln \left(\frac{5}{2}\right)\right)^{n+2}}\)
a szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln \left(\frac{5}{2}\right)\right)^{n+2}}\)
to zbieżny szereg geometryczny, wszak \(\displaystyle{ 0=\ln 1<\ln\left(\frac{5}{2}\right)<\ln e=1}\). Zatem na mocy kryterium porównawczego…
Dodano po 4 minutach 31 sekundach:
A nie, sorry, spełnia, mój błąd.
Dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}}\) mamy
\(\displaystyle{ 0<\ln\left(2+\frac{1}{n}\right)<\ln \left(\frac{5}{2}\right)}\)
i co za tym idzie
\(\displaystyle{ 0<\left(\ln\left(2+\frac{1}{n}\right)\right)^{n+2}<\left(\ln \left(\frac{5}{2}\right)\right)^{n+2}}\)
a szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln \left(\frac{5}{2}\right)\right)^{n+2}}\)
to zbieżny szereg geometryczny, wszak \(\displaystyle{ 0=\ln 1<\ln\left(\frac{5}{2}\right)<\ln e=1}\). Zatem na mocy kryterium porównawczego…
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Zbadać zbieżność szeregu
Słowem: kryterium Cauchy'ego.Premislav pisze: ↑21 mar 2020, o 16:34Dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}}\) mamy
\(\displaystyle{ 0<\ln\left(2+\frac{1}{n}\right)<\ln \left(\frac{5}{2}\right)}\)
i co za tym idzie
\(\displaystyle{ 0<\left(\ln\left(2+\frac{1}{n}\right)\right)^{n+2}<\left(\ln \left(\frac{5}{2}\right)\right)^{n+2}}\)
a szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln \left(\frac{5}{2}\right)\right)^{n+2}}\)
to zbieżny szereg geometryczny, wszak \(\displaystyle{ 0=\ln 1<\ln\left(\frac{5}{2}\right)<\ln e=1}\). Zatem na mocy kryterium porównawczego…