Kryterium całkowe

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
p13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 10 lis 2019, o 20:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 18 razy

Kryterium całkowe

Post autor: p13 »

Z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{ \sqrt{n}ln \frac{n+1}{n-1} } }\)

Jak to scałkować miarę szybko? Bo przez części coś mi nie wychodzi nic ciekawego. :oops:
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Kryterium całkowe

Post autor: Janusz Tracz »

Pytanie jak to w ogóle scałkować (Spoiler nie da się). Całka \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \dd x}{ \sqrt{x}\ln \frac{x+1}{x-1} } }\) jest nieelementarna a oznaczona wcale nie jest łatwiejsza niż sam szereg (który podobnie jak całka nie spełnia nawet warunku koniecznego). Na pewno tak to wyglądało? A jeśli tak to policzył bym (choć to dość sztuczne)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{ 1}{ \sqrt{x}\ln \frac{x+1}{x-1} } = \lim_{ x\to \infty } \frac{ \sqrt{x}}{x \ln \frac{x+1}{x-1} } =\lim_{ x\to \infty } \frac{ \sqrt{x}}{ \ln \left( 1+ \frac{2}{x-1} \right)^x }= \infty }\)

sztuczność polega na tym, że szereg zmienialiśmy całką a całka poszła z warunku koniecznego co jest absurdem wszak od razu można było tak potraktować szereg.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Kryterium całkowe

Post autor: a4karo »

\(\sqrt{n}(\ln (n+1)-\ln(n-1))<\sqrt{n}\frac{2}{n-1} \to 0\) na mocy tw. Lagrange'a
ODPOWIEDZ