Z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{ \sqrt{n}ln \frac{n+1}{n-1} } }\)
Jak to scałkować miarę szybko? Bo przez części coś mi nie wychodzi nic ciekawego.
Kryterium całkowe
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Kryterium całkowe
Pytanie jak to w ogóle scałkować (Spoiler nie da się). Całka \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \dd x}{ \sqrt{x}\ln \frac{x+1}{x-1} } }\) jest nieelementarna a oznaczona wcale nie jest łatwiejsza niż sam szereg (który podobnie jak całka nie spełnia nawet warunku koniecznego). Na pewno tak to wyglądało? A jeśli tak to policzył bym (choć to dość sztuczne)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{ 1}{ \sqrt{x}\ln \frac{x+1}{x-1} } = \lim_{ x\to \infty } \frac{ \sqrt{x}}{x \ln \frac{x+1}{x-1} } =\lim_{ x\to \infty } \frac{ \sqrt{x}}{ \ln \left( 1+ \frac{2}{x-1} \right)^x }= \infty }\)
sztuczność polega na tym, że szereg zmienialiśmy całką a całka poszła z warunku koniecznego co jest absurdem wszak od razu można było tak potraktować szereg.
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{ 1}{ \sqrt{x}\ln \frac{x+1}{x-1} } = \lim_{ x\to \infty } \frac{ \sqrt{x}}{x \ln \frac{x+1}{x-1} } =\lim_{ x\to \infty } \frac{ \sqrt{x}}{ \ln \left( 1+ \frac{2}{x-1} \right)^x }= \infty }\)
sztuczność polega na tym, że szereg zmienialiśmy całką a całka poszła z warunku koniecznego co jest absurdem wszak od razu można było tak potraktować szereg.