Witam. Mam pytania do następujących zadań:
1. Wyznacz dziedzinę funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x+2}{x} + \left( \frac{x+2}{x} \right) ^{2} + \left( \frac{x+2}{x} \right) ^{3} + ...}\)
Skorzystałam tu z faktu, że szereg jest zbieżny, gdy \(\displaystyle{ \left| q \right|<1 }\) i w ten sposób otrzymałam dziedzinę (rozwiązanie zgadza się z odpowiedziami). Moje pytanie brzmi: czy nie należałoby jeszcze rozważyć przypadku, gdy pierwszy wyraz jest równy zero i wtedy otrzymujemy funkcję, której dziedziną jest zbiór jednoelementowy \(\displaystyle{ x \in \left\{ -2 \right\} }\)?
2. Rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} - ... >2 }\)
Tutaj również skorzystałam z warunku zbieżności szeregu geometrycznego, a później ze wzoru na sumę i rozwiązałam zadanie. Moje pytanie brzmi: czy nie należy też rozważyć przypadku, gdy szereg jest rozbieżny do nieskończoności? Wtedy dostalibyśmy \(\displaystyle{ \infty > 2}\). A jeśli trzeba rozważyć ten przypadek, to jak to zrobić?
Zbieżność szeregu geometrycznego
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Zbieżność szeregu geometrycznego
1. No zaraz, po prostu \(\displaystyle{ -2}\) należy do dziedziny. Przecież nierówność
\(\displaystyle{ \left|\frac{x+2}{x}\right|<1}\) jest spełniona dla \(\displaystyle{ x=-2}\), inna rzecz, że nie ma akurat wtedy sensu mówić o ilorazie.
2. Nieskończoność nie jest liczbą. Zaczyna się tu od dziedziny, czyli szereg geometryczny po lewej ma być zbieżny, tak jak już zrobiłaś.
\(\displaystyle{ \left|\frac{x+2}{x}\right|<1}\) jest spełniona dla \(\displaystyle{ x=-2}\), inna rzecz, że nie ma akurat wtedy sensu mówić o ilorazie.
2. Nieskończoność nie jest liczbą. Zaczyna się tu od dziedziny, czyli szereg geometryczny po lewej ma być zbieżny, tak jak już zrobiłaś.