Zbieżność szeregu geometrycznego

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
inusia146
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 188
Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 90 razy

Zbieżność szeregu geometrycznego

Post autor: inusia146 »

Witam. Mam pytania do następujących zadań:

1. Wyznacz dziedzinę funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x+2}{x} + \left( \frac{x+2}{x} \right) ^{2} + \left( \frac{x+2}{x} \right) ^{3} + ...}\)
Skorzystałam tu z faktu, że szereg jest zbieżny, gdy \(\displaystyle{ \left| q \right|<1 }\) i w ten sposób otrzymałam dziedzinę (rozwiązanie zgadza się z odpowiedziami). Moje pytanie brzmi: czy nie należałoby jeszcze rozważyć przypadku, gdy pierwszy wyraz jest równy zero i wtedy otrzymujemy funkcję, której dziedziną jest zbiór jednoelementowy \(\displaystyle{ x \in \left\{ -2 \right\} }\)?

2. Rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} - ... >2 }\)
Tutaj również skorzystałam z warunku zbieżności szeregu geometrycznego, a później ze wzoru na sumę i rozwiązałam zadanie. Moje pytanie brzmi: czy nie należy też rozważyć przypadku, gdy szereg jest rozbieżny do nieskończoności? Wtedy dostalibyśmy \(\displaystyle{ \infty > 2}\). A jeśli trzeba rozważyć ten przypadek, to jak to zrobić?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Zbieżność szeregu geometrycznego

Post autor: Premislav »

1. No zaraz, po prostu \(\displaystyle{ -2}\) należy do dziedziny. Przecież nierówność
\(\displaystyle{ \left|\frac{x+2}{x}\right|<1}\) jest spełniona dla \(\displaystyle{ x=-2}\), inna rzecz, że nie ma akurat wtedy sensu mówić o ilorazie.

2. Nieskończoność nie jest liczbą. Zaczyna się tu od dziedziny, czyli szereg geometryczny po lewej ma być zbieżny, tak jak już zrobiłaś.
inusia146
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 188
Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 90 razy

Re: Zbieżność szeregu geometrycznego

Post autor: inusia146 »

@Premislav wielkie dzięki.
ODPOWIEDZ