Kryterium porównawcze - zbieżność

[p13]

Z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów:
\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{ \infty } \tg \frac{ \pi }{ 4^{n} } }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{1}{n} \sqrt{\sin \frac{1}{n} } }\)

Czy ktoś podpowie jak oszacować większe/mniejsze szeregi, żeby skorzystać z tego kryterium?
Byłbym bardzo wdzięczny za podpowiedź, a także jakby ktoś może znał jakieś źródła tłumaczące tego typu przykłady.
Bardzo proszę o pomoc.

[Janusz Tracz]

Dla małych dodatnich \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ \sin x \le x}\) kładąc za \(\displaystyle{ x = \frac{1}{n} }\) dostaniesz, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sqrt{\sin \frac{1}{n} } \le \frac{1}{n} \sqrt{ \frac{1}{n} } }\). Co daje skuteczne oszacowanie górne dla drugiego przykładu.

Jeśli chodzi pierwszy przykład to dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy

\(\displaystyle{ \tg \frac{\pi}{4^n} = \frac{\sin \frac{\pi}{4^n}}{\cos \frac{\pi}{4^n}} \le \frac{ \frac{ \pi }{4^n} }{ \frac{1}{2} } = \frac{2 \pi }{4^n} }\)

co daje oszacowanie górne.

[p13]

\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sqrt{ \frac{1}{n} } }\).

A czy suma takiego szeregu jest rozbieżna? Bo tak rozumuję, ale w odpowiedziach mam że powinno być zbieżne.

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{n} \sqrt{ \frac{1}{n} } }\) jest zbieżny dlatego \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{1}{n} \sqrt{\sin \frac{1}{n} } }\) też jest zbieżny. Szacuję z góry czymś zbieżnym.


PS \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{n} \sqrt{ \frac{1}{n} }= \sum_{}^{} \frac{1}{n^{ \red{\frac{3}{2} }}} }\)

[p13]

Mam jeszcze pytanko, czy to oszacowanie z sinusem będzie miało uzasadnienie do zastosowania go w tym przykładzie?
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\sin(\tg \frac{1}{n}) }\)

[Janusz Tracz]

Nie bo szacowanie jest z góry a ten szereg jest rozbieżny zatem trzeba szacować z dołu. Można zauważyć, że (znów dla małych dodatnich \(\displaystyle{ x}\)) mamy \(\displaystyle{ \frac{2}{ \pi }x \le \sin x }\) co daje nam:

\(\displaystyle{ \frac{2}{ \pi }\tg \left( \frac{1}{n}\right) \le \sin \tg \left( \frac{1}{n}\right)}\)

no i teraz trzeba jeszcze zauważyć, że \(\displaystyle{ x \le \tg x}\) zatem

\(\displaystyle{ \frac{2}{n \pi } \le \frac{2}{ \pi }\tg \left( \frac{1}{n}\right) \le \sin \tg \left( \frac{1}{n}\right)}\)

mamy więc z dołu \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{2}{n \pi } }\) który jest rozbieżny.

[p13]

A czy mógłbym jeszcze prosić o wytłumaczenie tych dwóch przykładów? Bardzo proszę, bo nie widzę tych oszacowań.
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n}\ln\left( 1+ \frac{1}{n}\right) }\),
b) \(\displaystyle{ \sum_{n = 2}^{ \infty } \frac{n+1}{n ^{2} - n} }\)

[Janusz Tracz]

b) \(\displaystyle{ \frac{1}{n-1} =\frac{n}{n^2-n} \le \frac{n+1}{n^2-n} }\) stąd mamy rozbieżność.

a) \(\displaystyle{ \ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right) \le \frac{1}{n} }\) stąd można wywnioskować zbieżność.