Obliczyć sumy szeregów liczbowych
\(\displaystyle{ 1) \sum_{n=0 }^{ \infty} \frac{1}{(n+1)3 ^{n} }
}\)
\(\displaystyle{
2) \sum_{ n=1 }^{ \infty} \frac{n}{(n+1)4 ^{n} }
}\)
Wydaje mi się, że trzeba tutaj coś pokombinować z różniczkowaniem/całkowaniem wyrażenia
\(\displaystyle{ \sum_{ n=0 }^{ \infty} \frac{1}{x^{n}}=\frac{1}{1-\frac{1}{x}} }\)
Niestety nic z moich prób mi konkretnego nie wychodzi.
Sumy szeregów liczbowych
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Sumy szeregów liczbowych
Ciepło. Gdy \(\displaystyle{ |x|<1}\), to
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}x^{n+1}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\int_{0}^{x}t^{n}\mbox{d}t\right)=\int_{0}^{x}\left(\sum_{n=0}^{\infty}t^{n}\right)\mbox{d} t\\=\int_{0}^{x}\frac{\mbox{d}t}{1-t}=-\ln(1-x)}\)
Wynika to z twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu szeregów potęgowych.
Zatem dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) mamy
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}x^{n}=-\frac{\ln(1-x)}{x}}\)
i wystarczy podstawić \(\displaystyle{ x=\frac{1}{3}}\), by otrzymać wynik 1).
W drugim podobnie, wskazówka \(\displaystyle{ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}}\) i można rozbić na różnicę szeregów, z których jeden jest zbieżnym szeregiem geometrycznym, a sumę drugiego wyznacza się tak, jak w 1).
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}x^{n+1}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\int_{0}^{x}t^{n}\mbox{d}t\right)=\int_{0}^{x}\left(\sum_{n=0}^{\infty}t^{n}\right)\mbox{d} t\\=\int_{0}^{x}\frac{\mbox{d}t}{1-t}=-\ln(1-x)}\)
Wynika to z twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu szeregów potęgowych.
Zatem dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) mamy
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}x^{n}=-\frac{\ln(1-x)}{x}}\)
i wystarczy podstawić \(\displaystyle{ x=\frac{1}{3}}\), by otrzymać wynik 1).
W drugim podobnie, wskazówka \(\displaystyle{ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}}\) i można rozbić na różnicę szeregów, z których jeden jest zbieżnym szeregiem geometrycznym, a sumę drugiego wyznacza się tak, jak w 1).
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4075
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Sumy szeregów liczbowych
Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }\xi^n= \frac{1}{1-\xi} }\)
zatem
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x} \sum_{n=0}^{ \infty }\xi^n \dd \xi= \int_{0}^{x} \frac{1}{1-\xi} \dd \xi }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \int_{0}^{x}\xi^n \dd \xi= \int_{0}^{x} \frac{1}{1-\xi} \dd \xi }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^{n+1}}{n+1} = \int_{0}^{x} \frac{1}{1-\xi} \dd \xi }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^n}{n+1} = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{1}{1-\xi} \dd \xi }\)
kładąc \(\displaystyle{ x= \frac{1}{3} }\) wyznaczysz podpunkt \(\displaystyle{ 1}\). Jeśli równość
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^n}{n+1} = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{1}{1-\xi} \dd \xi }\)
zróżniczkujemy stronami to mamy:
\(\displaystyle{ \frac{ \dd }{ \dd x } \left( \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^n}{n+1} \right) = \frac{ \dd }{ \dd x } \left( \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{1}{1-\xi} \dd \xi\right) }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{nx^{n-1}}{n+1} = \frac{ \dd }{ \dd x } \left( \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{1}{1-\xi} \dd \xi\right) }\)
mnożąc stronami przez \(\displaystyle{ x}\) i kładąc \(\displaystyle{ x=1/4}\) dostaniesz \(\displaystyle{ 2}\) podpunkt.
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }\xi^n= \frac{1}{1-\xi} }\)
zatem
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x} \sum_{n=0}^{ \infty }\xi^n \dd \xi= \int_{0}^{x} \frac{1}{1-\xi} \dd \xi }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \int_{0}^{x}\xi^n \dd \xi= \int_{0}^{x} \frac{1}{1-\xi} \dd \xi }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^{n+1}}{n+1} = \int_{0}^{x} \frac{1}{1-\xi} \dd \xi }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^n}{n+1} = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{1}{1-\xi} \dd \xi }\)
kładąc \(\displaystyle{ x= \frac{1}{3} }\) wyznaczysz podpunkt \(\displaystyle{ 1}\). Jeśli równość
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^n}{n+1} = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{1}{1-\xi} \dd \xi }\)
zróżniczkujemy stronami to mamy:
\(\displaystyle{ \frac{ \dd }{ \dd x } \left( \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^n}{n+1} \right) = \frac{ \dd }{ \dd x } \left( \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{1}{1-\xi} \dd \xi\right) }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{nx^{n-1}}{n+1} = \frac{ \dd }{ \dd x } \left( \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{1}{1-\xi} \dd \xi\right) }\)
mnożąc stronami przez \(\displaystyle{ x}\) i kładąc \(\displaystyle{ x=1/4}\) dostaniesz \(\displaystyle{ 2}\) podpunkt.