Suma szeregu geometryczno-trygonometrycznego

[Szustarol]

Witam.
Mam do policzenia taki szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } q^n \cdot \cos(n \alpha ) }\)
Probowalem zarowno rozpisywac kolejne skladniki sumy, jak i zamienic cosinusa na postac wykladnicza trygonometryczna,
ale niestety zadne podejscie nie doprowadzilo do skutku. Jak sie za to zabrac?


Ps. przepraszam za brak polskich znakow, pisze z innej kawiatury.

[Dasio11]

Wskazówka: podstawiając w razie potrzeby \(\displaystyle{ \alpha = \alpha' + \pi}\), można założyć, że \(\displaystyle{ q > 0}\). Wtedy \(\displaystyle{ q = e^{\beta}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \beta \in \RR}\), a szukana suma jest częścią rzeczywistą wyrażenia

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} e^{n \beta} \cdot \big( \cos( n \alpha ) + i \sin( n \alpha ) \big) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( e^{\beta + i \alpha} \right)^n}\).

[Szustarol]

Rozumiem przekształcenie, pytanie, czy teraz mogę zastosować wzór na sumę szeregu geometrycznego? A raczej czy ten wzór działa dla szeregów zespolonych

[Dasio11]

Działa przy tym samym założeniu, co w liczbach rzeczywistych: gdy iloraz ma moduł mniejszy niż \(\displaystyle{ 1}\).