Zbadaj zbieżnośc szeregu

[Pyroxar]

Szerego\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{n ^{2} + 2 ^{n} }{n+3 ^{n} } }\)

Warunek konieczny: granica wyrazu \(\displaystyle{ a _{n}}\) szeregu dąży do \(\displaystyle{ 0}\).
Liczymy:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{n ^{2} + 2 ^{n} }{n+3 ^{n} }}\) używam \(\displaystyle{ \frac{a _{n+1} }{a _{n} }}\)
Mam więc \(\displaystyle{ \frac{n ^{2} +2n +1+2\cdot 2 ^{n} }{n+1+2\cdot 3 ^{n} } \cdot \frac{n+3 ^{n} }{n ^{2} +2 ^{n} }}\)
Wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{1+2n+2 ^{n} }{1+2\cdot 3 ^{n} } }\)

Utknąłem bo nie wiem jak mam prawidłowo wyciągnąć wniosek kiedy w liczniku mam n i jednocześnie potęgi n-tego stopnia.

[Premislav]

Przecież ten iloraz wychodzi inny, na moje oko to jest
\(\displaystyle{ \frac{n^{2}+2n+1+2\cdot 2^{n}}{n+1+3\cdot 3^{n}}\cdot \frac{n+3^{n}}{n^{2}+2^{n}}}\)
Teraz podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 6^{n}=3^{n}\cdot 2^{n}}\)
i skorzystaj z następującej granicy:
dla ustalonego \(\displaystyle{ k\in \NN }\) (a nawet \(\displaystyle{ k\in \RR}\)) i dowolnej stałej \(\displaystyle{ c>1}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{n^{k}}{c^{n}}=0}\)

[Pyroxar]

Jaki inny iloraz? Źle poskracałem? Zaraz spróbuje tego co mówisz dla mojego wyniku.

[Premislav]

Szerego\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{n ^{2} + 2 ^{n} }{n+3 ^{n} } }\)

Warunek konieczny: granica wyrazu a _{n} szeregu dąży do 0.
Liczymy:
\(\displaystyle{ \lim_{ \to \infty } \frac{n ^{2} + 2 ^{n} }{n+3 ^{n} } używam \frac{a _{n+1} }{a _{n} }}\)
Mam więc \(\displaystyle{ \frac{n ^{2} +2n +1+2*2 ^{n} }{n+1+\red{2}*3 ^{n} } * \frac{n+3 ^{n} }{n ^{2} +2 ^{n} }}\)
Wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{1+2n+2 ^{n} }{1+2*3 ^{n} } }\)

Tu był błąd, powinna być trójka, reszta OK.

[Bran]

Można też zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{n^2 + 2^n}{n+3^n} < \frac{2 \cdot 2^n}{3^n}}\), a to już łatwo z kryterium Cauchy'ego.