Zbieżność szeregu

[F3NRIR]

1. \(\displaystyle{ \sum_{ n=1}^{\infty } (-1) ^{n} \frac{3n ^{2}+5 }{6n ^{2} +1} }\)
Czy jeżeli z warunku koniecznego zbieżności szeregu pokaże że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{3n ^{2}+5 }{6n ^{2} +1} }\) jest rozbieżny to wystarczy to aby udowodnić że cały szereg jest rozbieżny czy muszę jeszcze zastosować np. kryterium Leibniza? I czy wogóle zastosowanie kryterium Leibniza miało by sens? Bo w tym wypadku warunek z tego kryterium \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } =0 }\) nie był by spełniony co wcale mi nie udowadnia że szereg ten jest rozbieżny a jedynie że nie pokaże z Leibniza że szereg jest zbieżny. Dobrze myślę?

2. \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{(1-) ^{n} }{2n+3} }\)
Z kryterium porównawczego w wersji granicznej i z warunku koniecznego zbieżności szeregu wychodzi mi że ten szereg jest rozbieżny a w odpowiedziach mam że jest on zbieżny. Coś robię źle?

[Premislav]

1. \(\displaystyle{ \sum_{ n=1}^{\infty } (-1) ^{n} \frac{3n ^{2}+5 }{6n ^{2} +1} }\)
Czy jeżeli z warunku koniecznego zbieżności szeregu pokaże że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{3n ^{2}+5 }{6n ^{2} +1} }\) jest rozbieżny to wystarczy to aby udowodnić że cały szereg jest rozbieżny czy muszę jeszcze zastosować np. kryterium Leibniza? I czy wogóle zastosowanie kryterium Leibniza miało by sens? Bo w tym wypadku warunek z tego kryterium \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } =0 }\) nie był by spełniony co wcale mi nie udowadnia że szereg ten jest rozbieżny a jedynie że nie pokaże z Leibniza że szereg jest zbieżny. Dobrze myślę?

Po kolei: nie jest prawdą, że „\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{3n ^{2}+5 }{6n ^{2} +1} }\) jest rozbieżny", ponieważ jest to liczba i wynosi ona \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Co więcej, nie jest prawdą też, że ciąg \(\displaystyle{ a_{n}= \frac{3n ^{2}+5 }{6n ^{2} +1} }\) jest rozbieżny, wszak ma on granicę właściwą. Natomiast wykazanie, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{3n ^{2}+5 }{6n ^{2} +1}\neq 0}\) wystarcza do stwierdzenia, że szereg, o którym piszesz, nie jest zbieżny, gdyż nie spełnia warunku koniecznego zbieżności, a to dlatego, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}a_{n}=0\Leftrightarrow \lim_{n\to \infty}|a_{n}|=0}\) (jeśli tego nie widzisz, to rozpisz to sobie, proszę, z definicji granicy ciągu) i zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}, \ \left|(-1)^{n}\frac{3n^{2}+5}{6n^{2}+1} \right|=\frac{3n^{2}+5}{6n^{2}+1}}\).
Kryterium Leibniza nie ma tu nic do rzeczy, gdyż jego założenia nie są spełnione, a z tego niczego nie możemy wywnioskować.

2. \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{(1-) ^{n} }{2n+3} }\)
Z kryterium porównawczego w wersji granicznej i z warunku koniecznego zbieżności szeregu wychodzi mi że ten szereg jest rozbieżny a w odpowiedziach mam że jest on zbieżny. Coś robię źle?

Pewnie miało być \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{(\red{-1}) ^{n} }{2n+3} }\), może pomyliłeś to z \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{1 }{2n+3} }\)
Tutaj z kolei kryterium Leibniza właśnie załatwia sprawę, gdyż ciąg
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1}{2n+3}}\) jest malejący i \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}a_{n}=0}\). Nie chcę Cię martwić, ale nie da się tu zastosować kryterium porównawczego w wersji granicznej, gdyż wymaga ono stałego znaku wyrazów szeregu (przynajmniej od pewnego miejsca).

[F3NRIR]

Pewnie miało być \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{(\red{-1}) ^{n} }{2n+3} }\), może pomyliłeś to z \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{1 }{2n+3} }\)
Tutaj z kolei kryterium Leibniza właśnie załatwia sprawę, gdyż ciąg
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1}{2n+3}}\) jest malejący i \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}a_{n}=0}\). Nie chcę Cię martwić, ale nie da się tu zastosować kryterium porównawczego w wersji granicznej, gdyż wymaga ono stałego znaku wyrazów szeregu (przynajmniej od pewnego miejsca).

Jeśli przyjmę że \(\displaystyle{ a_{n}= \frac{(-1) ^{n} }{2n+3} }\) wtedy \(\displaystyle{ \left| a _{n} \right|= \frac{1 }{2n+3} }\)
I jeżeli teraz do \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{\infty} \left| a _{n} \right| }\) zastosuje kryterium porównawczego w wersji granicznej sprawdzając zbieżność bezwzględną to jest to niepoprawne?

[Premislav]

Jest to poprawne, ale z braku zbieżności bezwzględnej nie wynika brak zbieżności, a ten szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+3}}\) jest właśnie warunkowo zbieżny.

[F3NRIR]

Ok, już rozumiem, dzięki za pomoc!

[Gosda]

Warto wiedzieć, że to chyba prawie najpopularniejszy szereg warunkowo zbieżny: ja na ćwiczeniach z analizy najpierw spotkałem się z dowodem równości

\(\displaystyle{ \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \log 2 }\),

gdzie szereg z samymi plusami jest oczywiście rozbieżny.

[Bran]

Warto wiedzieć, że to chyba prawie najpopularniejszy szereg warunkowo zbieżny: ja na ćwiczeniach z analizy najpierw spotkałem się z dowodem równości

\(\displaystyle{ \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \log 2 }\),

gdzie szereg z samymi plusami jest oczywiście rozbieżny.

Biorąc pod uwagę, że ten szereg jest zbieżny do jakieś liczby między \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) a \(\displaystyle{ 1}\), to \(\displaystyle{ \log 2}\) raczej odpada. Podejrzewam, że chodziło o logarytm naturalny, ale trzeba pamiętać, że jesteśmy w Polsce i ten zapis może być mylący, zwłaszcza dla tych mniej wprawnych matematycznie jak ja (tutaj nie miałem problemu, bo szeregi harmoniczne i różne wariacje mam wyjątkowo ogarnięte).

[Gosda]

Tak, to prawda. Chodziło mi o logarytm naturalny. Mam do czynienia głównie z zachodnią matematyką, gdzie (jeśli to ma sens) funkcja wykładnicza \(\displaystyle{ \exp}\) oraz logarytm \(\displaystyle{ \log}\) zawsze są związane z liczbą \(\displaystyle{ e \approx 2.718\ldots}\), nigdy z dwójką (jak w informatyce) albo dziesiątką (jak w Polsce).