Szeregi - trzy dowody

[pelas_91]

Dzień dobry!
Wracam ostatnio do pewnych tematów z czasów studiów, ale pewne rzeczy mi zdążyły umknąć.
Będę wdzięczny za wskazówki / podpowiedzi do poniższych zadań.
Z góry dziękuję za pomoc!
Pozdrawiam

1. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a_n \geq 0}\) i szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2}\) jest zbieżny, to zbieżny jest również szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}}\).

2. Dowieść, że jeśli szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) o wyrazach dodatnich malejących jest zbieżny to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} na_n = 0}\).

3. Korzystając z wyników zadania 2. wykazać, że dla \(\displaystyle{ 0 < s \leq 1}\) szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}}\) jest rozbieżny.

[Dasio11]

1. Teza wynika z kryterium porównawczego i z nierówności

\(\displaystyle{ \frac{a_n}{n} \le \frac{1}{2} \left( (a_n)^2 + \frac{1}{n^2} \right)}\),

będącej szczególnym przypadkiem nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną.

2. Skoro \(\displaystyle{ a_n}\) jest malejący, mamy

\(\displaystyle{ 0 \le n a_n = 2 \cdot \frac{n}{2} \cdot a_n \le 2 \sum_{k = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor+1}^n a_k}\).

Z warunku Cauchy'ego dla ciągu sum częściowych wynika że ciąg po prawej stronie nierówności zbiega do zera, co z twierdzenia o trzech ciągach daje tezę.

3. Gdyby ten szereg był zbieżny, to ciąg \(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{n^s}}\) spełniałby założenia zadania 2 i w konsekwencji musiałby też spełniać tezę, a to oczywiście nieprawda, bo

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{1}{n^s} = \lim_{n \to \infty} n^{1-s} = \begin{cases} 1 & \text{dla } s = 1 \\ \infty & \text{dla } 0 < s < 1 \end{cases}}\)

A zatem rozważany szereg musi być rozbieżny.

[pelas_91]

\(\displaystyle{ 2 \cdot \frac{n}{2} \cdot a_n \le 2 \sum_{k = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor+1}^n a_k}\).

Nie jest jasne dla mnie to oszacowanie.
Cała reszta ok. Dziękuję!

[Dasio11]

Wystarczy wykazać:

\(\displaystyle{ \left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil \cdot a_n \le \sum_{k = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor+1}^n a_k}\)

lub równoważnie:

\(\displaystyle{ \sum_{k = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor+1}^n a_n \le \sum_{k = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor+1}^n a_k}\).

Ostatnia zaś nierówność jest prawdziwa na poziomie każdego składnika z osobna, bo ciąg jest nierosnący, a zatem zachodzi też dla całych sum.