jak obliczyć sumę wyrazów

[july04]

Dostałem do wykonanie następujące zadanie- polecenie oblicz:
\(\displaystyle{ \sqrt{6+ \sqrt{6+ \sqrt{6+ \sqrt{....} } } } }\)

Niestety nie mam pomysłu jak to zrobić.

[Janusz Tracz]

Oznaczmy \(\displaystyle{ \sqrt{6+ \sqrt{6+ \sqrt{6+ \sqrt{....} } } }=x}\) oczywiście \(\displaystyle{ x>0}\) więc po podniesieniu stronami do kwadratu mamy \(\displaystyle{ 6+\sqrt{6+ \sqrt{6+ \sqrt{6+ \sqrt{....} } } }=x^2}\) A świetle oznaczeń \(\displaystyle{ 6+x=x^2}\). To równanie ma dwa rozwiązania jedno ujemne a jedno to \(\displaystyle{ x=3}\).

[a4karo]

To rozwiązanie nie jest kompletne. \(\infty\) też jest rozwiązaniem tego równania.

Dla kompletności trzeba pokazać, że ciąg pierwiastków jest ograniczony. (np. przez \(3\))

[Janusz Tracz]

Fakt. Można to zrobić rozważając rekurencję \(\displaystyle{ a_1=0}\) oraz \(\displaystyle{ a_n= \sqrt{6+a_{n-1}} }\). Udowodnić należy \(\displaystyle{ a_n \le 3}\) co można zrobić indukcyjnie. Najistotniejsze to zauważyć, że

\(\displaystyle{ a_{n+1}= \sqrt{6+a_n} \le \sqrt{6+3}=3 }\)