Badanie zbieżności szeregu

[Nadine]

Dzień dobry, bawię się od wczoraj tym szeregiem
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(n^3)}{5 ^\sqrt{2n} }
}\)
Bardzo narzuca się tu kryterium Cauchyego jednak, mam problem co zrobić z dołem

[Janusz Tracz]

Kryterium Cauchyego najprawdopodobniej zawiedzie, nie rozstrzygnie. Udowodnij, że od pewnego \(\displaystyle{ n}\) spełniona będzie nierówność:

\(\displaystyle{ \sqrt{n}>\log_5 n^{10 \sqrt{2} } }\)

[Bran]

A kryterium kondensacyjne nie załatwia tutaj sprawy?

[Janusz Tracz]

A kryterium kondensacyjne nie załatwia tutaj sprawy?

Sprawdź Kryterium kondensacyjne zamiana tylko problem zbieżność szeregu \(\displaystyle{ X}\) na problem zbieżność szeregu \(\displaystyle{ Y}\) w tym przypadku ta zamiana jest mało opłacalna bo to co dostaniesz wcale nie jest oczywiste. Można co prawda powołać się po takiej zamianie na kryterium Cauchyego które rozstrzygnie ale znowu pojawi się po drodze granica która też nie jest oczywista.

[a4karo]

Dla \(a=5^\sqrt{2}\) mamy

\(b_k=\sum_{i=k^2}^{(k+1)^2-1}\frac{i^3}{a^\sqrt{i}}<\frac{(2k+1)(k+1)^6}{a^k}\) , więc szereg \(\sum b_k\) jest zbieżny (powiedzmy do \(B\)
Zatem
\(\sum_{i=1}^{N^2-1} \frac{n^3}{a^\sqrt{n}}=b_1+b_2+\dots+b_{N-1}<B\)

Widzimy więc, żę ciąg sum częściowych szeregu jest rosnący i zawiera podciąg ograniczony, zatem sam musi być ograniczony. Szereg jest zatem zbieżny