Zbadaj zbieżność szeregu

[Nadine]

Dzień dobry, szukam podpowiedzi jaką metodą zbadać zbieżność tego szeregu

\(\displaystyle{ \left( \frac{3-2n}{3+2n}\right) ^n}\)

[Gosda]

To nie jest szereg.

[Nadine]

Skąd taki wniosek

[Jan Kraszewski]

Bo nie ma symbolu sumy. To jest zwykły ciąg.

JK

[Nadine]

Bo go nie zapisałam, jednak chyba wiem co mówię

[Premislav]

Jeżeli chodzi o \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3-2n}{3+2n}\right)^{n}}\), to nie spełnia on warunku koniecznego zbieżności, wszak dla \(\displaystyle{ n>1}\) mamy
\(\displaystyle{ \left| \left(\frac{3-2n}{3+2n}\right)^{n}\right|=\left(\frac{2n-3}{2n+3}\right)^{n}=\left(1-\frac{6}{2n+3}\right)^{n}}\)
a jak się wie, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}}\), to stąd łatwo dostaje się, że
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{6}{2n+3}\right)^{n}=e^{-3}>0}\).

[Nadine]

Dziękuję bardzo

[Jan Kraszewski]

Bo go nie zapisałam, jednak chyba wiem co mówię

Ty może wiesz, co mówisz, ale my nie musimy wcale być tego pewni. Jeżeli chcesz być dobrze zrozumiana, to wyrażaj się precyzyjnie.

JK

[Nadine]

Przecież napisałam, że jest to szereg. \(\displaystyle{ \sum_{}^{} }\) jest tylko oznaczeniem które oznacza szereg, jeśli powiem że jest to szereg to powinno być to jak najbardziej zrozumiałe

[Gosda]

Nie do końca. Jakby się uprzeć i przez szereg zawsze rozumieć ciąg sum częściowych, to "szereg"

\(\displaystyle{ \left( \frac{3-2n}{3+2n}\right) ^n}\)

jest zbieżny do liczby \(\displaystyle{ e^{-3}}\), tylko że oczywiście nie o to w tym chodzi. Bo jeśli rozwinie się powyższy zapis do normalnego szeregu, to dostanie się

\(\displaystyle{ 1 + \sum_{k=1}^\infty \left( \left( \frac{3-2k}{3+2k}\right) ^k - \left( \frac{3-2(k-1)}{3+2(k-1)}\right) ^{k-1} \right) = e^{-3}}\)

(jedynka z przodu dla zbalansowania sumy teleskopowej). Zupełnie inny wynik niż ze znakiem \(\displaystyle{ \Sigma}\) na początku.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} }\) jest tylko oznaczeniem które oznacza szereg, jeśli powiem że jest to szereg to powinno być to jak najbardziej zrozumiałe.

Chodzi też o to, żeby wypowiadać się poprawnie. Jeżeli nie chciało Ci się wstawiać znaku sumy, to należało zapytać o szereg o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ \left( \frac{3-2n}{3+2n}\right) ^n.}\)

JK