Matematyka.pl

Mam podać przykład szeregu o wyrazach dodatnich, takiego że \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } a_{n}=+ \infty }\), ale \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{ a_{n} }{\ln(\ln n)}<+ \infty}\)
Robiąc podobne zadania, zauważyłam, że najprawdopodobniej może to być \(\displaystyle{ \frac{1}{n\ln(\ln n)\ln n}}\)
Wiem, że trzeba wykorzystać kryterium o zagęszczeniu, w pierwszym przypadku wychodzi mi \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n\ln 2\ln(n\ln 2)}}\), a w drugim \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n\ln 2\ln(n\ln 2)\ln(n\ln 2)}}\) Wiem, że szereg harmoniczny \(\displaystyle{ \frac{1}{ n^{a}}}\) jest zbieżny, kiedy \(\displaystyle{ a>1}\), rozbieżny w przeciwnym przypadku, co powinnam tutaj dalej zrobić, czy to jest w ogóle dobrze?

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{n\ln(\ln n)\ln n}}\) to jest dobry przykład.

Po prostu konsekwentnie (wciąż spełnione będą założenia) należy stosować kryterium zagęszczające:
jeżeli \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1}{n\ln n \ln(\ln n)}}\), to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}a_{n}}\) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}2^{n}a_{2^{n}}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2^{n}}{2^{n}\ln 2^{n} \ln\left(\ln 2^{n}\right)}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln 2 \cdot n \left(\ln n+\ln (\ln 2)\right)}}\),
ten ostatni zaś jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{2^{n}}{\ln 2 \cdot 2^{n} \left(\ln 2^{n}+\ln(\ln 2)\right)}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^{2}(2)+\ln 2 \cdot \ln(\ln 2)}}\)
a ten ostatni szereg jest rozbieżny na mocy kryterium porównawczego, gdyż \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n}}\) jest rozbieżny i mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{n\ln^{2}(2)+\ln 2\cdot \ln(\ln 2)}>\frac{1}{n\ln^{2}e+0}=\frac{1}{n}}\) dla \(\displaystyle{ n=2,3\ldots}\).
Skoro zatem ten ostatni szereg jest rozbieżny, to i
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln(\ln n)\ln n}}\) jest rozbieżny.
Podobnie postępujesz z \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n\ln^{2}(\ln n)}}\)
z tą różnicą, że on okazuje się zbieżny, jak chciałaś.

Inna możliwość to kryterium całkowe, które błyskawicznie załatwia tu sprawę, ale możesz go nie znać…