Zbieżność szeregu

[terefere123]

ciąg liczb: \(\displaystyle{ n_1, n_2, n_3, ...}\)
Sprawdź jeżeli dla pewnego \(\displaystyle{ p > 1}\), zachodzi \(\displaystyle{ p n_k \le n_{k+1}}\) to czy \(\displaystyle{ \sum_{k}^{ \infty } \frac{1}{n_k} }\) jest zbieżne.

Pierwsze co zauważyłem to, że ten podany ciąg liczb jest rosnący (bo \(\displaystyle{ p n_k \le n_{k+1}}\) i \(\displaystyle{ p>1}\))
Drugie, to \(\displaystyle{ p^{k-1} n_1 \le n_k}\) (bo \(\displaystyle{ pn_1 \le n_2}\) i \(\displaystyle{ pn_2 \le n_3}\) czyli \(\displaystyle{ p^2n_1 \le n_3}\) itd. (mam dowód indukcyjny na to))
czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{n^k} \le \frac{1}{p^{k-1}n_1} }\) a z tego mam
\(\displaystyle{ \sum_{k}^{ \infty } \frac{1}{n_k} \le \sum_{k}^{ \infty } \frac{1}{p^{k-1}n_1}}\)
Ten po prawej szereg jest zbieżny, bo \(\displaystyle{ n_1}\) to stała i jest to szereg geometryczny.
I z kryterium porównawczego wynika, że szereg jest zbieżny.

Czy wynik jest dobry? O to w tym zadaniu chodziło?

[a4karo]

Ciąg liczb \(n_k=-1\) spełnia założenia dla każdego \(p>1\), ale szereg odwrotności nie jest zbieżny

Tak, jest ok (nierówność, którą pokazałeś zachodzi od pewnego miejsca, ale jak to zwykle bywa z szeregami, można założyć, że to prawda dla wszystkich).

Zauważ, że tak naprawdę udowodniłes kryterium d'Alemberta

[terefere123]

Ciąg liczb \(n_k=-1\) spełnia założenia dla każdego \(p>1\), ale szereg odwrotności nie jest zbieżny

Faktycznie. W dodatku dla liczb ujemnych mój wniosek nr1 jest błędny ale też nic nie wnosi, jest zbędny. Jak robiłem to zadanie to nie wiem czemu myślałem tylko o \(n\) dodatnich.

Dziękuje.