Zbieżność szeregu w zależności

[Nadine]

Zbadać zbieżność
\(\displaystyle{ \sum_{n}^{ \infty } \left( \frac{n-2}{1+n^2}\right) ^{x} }\) w zależności od \(\displaystyle{ x \in \RR}\)

Dodano po 2 minutach 32 sekundach:
Moim pytaniem jest jak podejść do tego \(\displaystyle{ x}\)'a

Dodano po 4 minutach 34 sekundach:
Czy próba robienia tego kryterium d'Alebmerta jest sensowna, znaczy:
\(\displaystyle{ \left( \frac{n-1}{2+n^2} \cdot \frac{1+n^2}{n-2} \right)^x}\)

Dodano po 10 minutach 2 sekundach:
Widzę też, że dla bardzo dużych \(\displaystyle{ n}\)-ów, to zachowuje się jak
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} ^x}\)

Dodano po 19 minutach 36 sekundach:
Wtedy na zasadzie zauważenie mówię, że dla \(\displaystyle{ x<0}\) ciąg jest rozbieżny, dla \(\displaystyle{ 0}\) zbieżny do \(\displaystyle{ 1}\), dla \(\displaystyle{ x>0}\) zbieżny do \(\displaystyle{ 0}\)

[terefere123]

\(\displaystyle{ \sum_{n}^{ \infty } \left( \frac{n-2}{1+n^2}\right) ^{x} < \sum_{n}^{ \infty } \left( \frac{n}{n^2}\right) ^{x} = \sum_{n}^{ \infty } \left( \frac{1}{n}\right) ^{x} = \sum_{n}^{ \infty } \left( \frac{1}{n^{x}}\right) }\)
Czyli dla \(\displaystyle{ x>1}\) jest zbieżny.

[Nadine]

A co się dzieje z częścią od 0 do 1

Dodano po 25 sekundach:
I czy jest bardziej formalny sposób niż przez zauważenie, że te ciągi zachowują się podobnie

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ \sum_{n}^{ \infty } \left( \frac{n-2}{1+n^2}\right) ^{x} < \sum_{n}^{ \infty } \left( \frac{n}{n^2}\right) ^{x} = \sum_{n}^{ \infty } \left( \frac{1}{n}\right) ^{x} = \sum_{n}^{ \infty } \left( \frac{1}{n^{x}}\right) }\)
Czyli dla \(\displaystyle{ x>1}\) jest zbieżny.

To rozumowanie działa jedynie gdy chcemy powiedzieć, że szereg jest zbieżny dla \(\displaystyle{ x>1}\) nie można jednak wyciągać wniosków co do \(\displaystyle{ x \le 1}\) wszak szacujemy szereg przez szereg rozbieżny.

bardziej formalny sposób niż przez zauważenie, że te ciągi zachowują się podobnie

Formalnie można powołać się na kryterium ilorazowe i zauważyć, że dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ x\in\left( 0,1\right] }\) mamy:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\left( \frac{n-2}{1+n^2}\right) ^{x}}{ \frac{1}{n^x} }=1}\)

sposób z kryterium ilorazowym działa również dla \(\displaystyle{ x>1}\) więc dostajemy odpowiedź od razu bez rozważania przypadków.

[Nadine]

Co oznacza, że kryterium ilorazowe =1 i jak to zauważamy

[Janusz Tracz]

Można napisać tak: Ustalmy \(\displaystyle{ x\in\left( 0, \infty \right) }\) i zauważmy, że:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\left( \frac{n-2}{1+n^2}\right) ^{x}}{ \frac{1}{n^x} }=\lim_{n \to \infty }\left( \frac{\frac{n-2}{1+n^2}}{ \frac{1}{n} } \right)^x= \lim_{n \to \infty }\left( \frac{n^2-2}{n^2+1} \right)^x=\left( \lim_{n \to \infty }\frac{n^2-2}{n^2+1} \right)^x=1^x=1 }\)

Zatem jako, że \(\displaystyle{ 1\in\left( 0, \infty \right) }\) szereg z terści jest takiej samej zbieżności co \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{n^x} }\) a znanym faktem jest, że ten szerg jest zbieżny dla \(\displaystyle{ x>1}\) a rozbieżny dla \(\displaystyle{ 0<x \le 1}\).


PS O \(\displaystyle{ x \le 0}\) już nie wspominam bo to z warunku koniecznego od razu wynika.

Dodano po 3 minutach 10 sekundach:

Co oznacza, że kryterium ilorazowe =1 i jak to zauważamy

W kryterium ilorazowym oczekujemy, że granica będzie liczbą dodatnią i tak dobieramy wyrazy szeregu z którymi będziemy porównywać by tak było. Zauważyć to można powołując się na intuicję (którą potem formalizujemy), że \(\displaystyle{ \frac{n-2}{n^2+1} }\) zachowuje się podobnie do \(\displaystyle{ \frac{1}{n} }\).

[Nadine]

Czyli jest tak jak myślałam z wyjątkiem, x=0. Dziękuję bardzo

[Janusz Tracz]

Dla \(\displaystyle{ x=0}\) dostajemy szereg \(\displaystyle{ 1}\) (bo każdy wyraz to \(\displaystyle{ 1}\)) więc rozbieżność dostajemy wprost z definicji czy warunku koniecznego.