Zbieżność szeregów.

[terefere123]

a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^n n!}{n^n} }\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \ln\left( \frac{n^2+1}{n^2} \right)}\)

Próbowałem w a) kryterium d'Alemberta niestety wychodzi 1. Nie wiem jak to inaczej ruszyć. Tak samo b) nie mam pojęcia od czego zacząć.
Z góry dziękuje za pomoc.

[szw1710]

a) Znajdź i zastosuj wzór Stirlinga.
b) Blisko zera mamy asymptotycznie \(\ln(1+x)\approx x.\) Skorzystaj z kryterium ilorazowego (ang. limit comparison test).

[Premislav]

Moim zdaniem w a) wzór Stirlinga to przesada, nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności i by to wykazać, wystarczy udowodnić indukcyjnie, że
\(\displaystyle{ n!>\left(\frac{n}{e}\right)^{n}, \ n=1,2\ldots}\).

[janusz47]

a)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{n} n!}{n^{n}} }\)

Sposób pierwszy

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{e^{n+1} (n+1)! \cdot (n)^{n}}{(n+1)^{n+1}\cdot e^{n} \cdot (n)!} = \frac{e}{ ( 1 +\frac{1}{n})^{n}} }\)

\(\displaystyle{ \frac{e}{( 1 + \frac{1}{n})^{n}} > \frac{(1 + \frac{1}{n})^{n-1}}{( 1 + \frac{1}{n})^{n}} = \frac{\frac{1}{n+1}}{ \frac{1}{n}} }\)

Gdyby badany szereg był zbieżny, szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} }\) byłby również zbieżny. Jest to szereg harmoniczny rzędu pierwszego - rozbieżny. Na podstawie kryterium porównawczego rozbieżności minoranty, stwierdzamy, że badany szereg jest rozbieżny.

Sposób drugi

Korzystamy ograniczenia dolnego silni \(\displaystyle{ n! > \frac{1}{1+\epsilon}\left (\frac{n}{e}\right)^{n} \sqrt{2\pi n},\ \ \epsilon>0. }\)

Patrz na przykład artykuł: Thomas Worsch. Lower and upper bounds (sums off) binomial coefficients. Universitat Karlshruhe 1994.

Na podstawie kryterium porównawczego rozbieżności minoranty stwierdzamy, że badany szereg jest rozbieżny.

[a4karo]

a)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{n} n!}{n^{n}} }\)

Sposób pierwszy

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{e^{n+1} (n+1)! \cdot (n)^{n}}{(n+1)^{n+1}\cdot e^{n} \cdot (n)!} = \frac{e}{ ( 1 +\frac{1}{n})^{n}} }\)

\(\displaystyle{ \frac{e}{( 1 + \frac{1}{n})^{n}} > \frac{(1 + \frac{1}{n})^{n-1}}{( 1 + \frac{1}{n})^{n}} = \frac{\frac{1}{n+1}}{ \frac{1}{n}} }\)

Gdyby badany szereg był zbieżny, szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} }\) musiałby być zbieżny.

Możesz to uzasadnić bardziej szczegółowo?

Bo dla mnie dużo bardziej naturalne jest stwierdzenie, że
\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{e^{n+1} (n+1)! \cdot (n)^{n}}{(n+1)^{n+1}\cdot e^{n} \cdot (n)!} = \frac{e}{ ( 1 +\frac{1}{n})^{n}} >1 }\), a zatem ciąg \(a_n\) rośnie, więc nie może spełniać warunku koniecznego.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} < e < \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n+1} }\)

Słuszne stwierdzenie, pod które też się podpisuję.

Nie potrzebne korzystanie z ilorazowego kryterium porównawczego rozbieżności szeregów jak również dolnego ograniczenia silni.

[a4karo]

Ale prosiłem o wyjaśnienie wnioskowania: Gdyby badany szereg był zbieżny, szereg harmoniczny musiałby być zbieżny

[janusz47]

Jest takie kryterium ilorazowe - porównawcze"

Jeżeli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} , \ \ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} }\) są szeregami o wyrazach dodatnich takimi , że

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq \frac{b_{n+1}}{b_{n}} }\) dla \(\displaystyle{ n\geq n_{0}}\), to

- ze zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} }\) wynika zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, }\)

- z rozbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} }\) wynika rozbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}. }\)