Próbowałem z kryterium d'Alemberta, granica jest 1.
Wydaje mi się, że to dość dziwny przykład. Jak mamy ustalone \(\displaystyle{ a}\) to \(\displaystyle{ n}\) kiedyś je przekroczy, to jaki będzie wynik np. takiego czegoś: \(\displaystyle{ {20\choose 19} }\) ?
Dodano po 1 godzinie 26 minutach 19 sekundach:
terefere123 pisze: ↑17 lis 2019, o 14:12
Wydaje mi się, że to dość dziwny przykład. Jak mamy ustalone \(\displaystyle{ a}\) to \(\displaystyle{ n}\) kiedyś je przekroczy, to jaki będzie wynik np. takiego czegoś: \(\displaystyle{ {20\choose 19} }\) ?
Nie mogę zedytować, tu mi się coś pomieszało w głowie. Proszę nie zwracać na to uwagi
Próbowałem z kryterium d'Alemberta, granica jest 1.
Więc nie przyniosło to efektów bo jak dostajesz \(\displaystyle{ 1}\) to nie wiadomo nic. Ta granica jest zależna od \(\displaystyle{ a,b}\) swoją drogą.
Zauważ, że \(\displaystyle{ {n \choose a} }\) jest takiego samego rzędu jak \(\displaystyle{ n^a}\) zatem z kryterium ilorazowego tak na prawdę masz zbadać zbieżność \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{n^a}{n^b} }\) w zależności od \(\displaystyle{ a,b}\)
Przecież to, co napisał Janusz Tracz, jest całkiem elementarne…
Ale co kto lubi. Przyjmuję, że \(\displaystyle{ a,b\in \NN}\), inaczej taki zapis ma nieduży sens (można niby uogólnić dzięki funkcji gamma, ale jeśli kryterium ilorazowe to dla Ciebie coś nieznanego, to tym bardziej funkcja gamma). Jeśli \(\displaystyle{ b\le a+1}\) i np. (w kryterium porównawczym wystarczy szacowanie wyrazów od pewnego miejsca) \(\displaystyle{ n\ge 2a+2}\), to możemy zapisać: \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{b}}{n\choose a}\ge \frac{1}{a!}\frac{(n-a+1)^{a}}{n^{b}}\ge \frac{1}{a!}\left(1-\frac{a+1}{n}\right)^{a}\frac{1}{n}\ge \frac{2^{-a}}{a!}\cdot \frac{1}{n}}\)
a szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{-a}}{a!}\cdot \frac{1}{n}}\) jest rozbieżny, gdyż szereg harmoniczny jest rozbieżny. Zatem wyjściowy szereg jest rozbieżny na mocy kryterium porównawczego.
Jeśli natomiast \(\displaystyle{ b\ge a+2}\), to możemy napisać: \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{b}}{n\choose a}\le \frac{n^{a}}{n^{b}}\le\frac{1}{n^{2}}}\), a szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}\) jest zbieżny, toteż wyjściowy szereg jest zbieżny na mocy kryterium porównawczego.
