Sprawdzić czy szereg jest zbieżny.

[Ropoocha]

Zbadać zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty } \left (\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right ) }\).
Sprawdziłem dla tego przykładu warunek konieczny, a mianowicie, że \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow \infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) = 0 }\).
Wiedząc, że ten szereg może być zbieżny, zabrałem się do sprawdzania kryteriów zbieżności.

Zacząłem od kryterium d'Alemberta, jednak po (całkiem długich) obliczeniach wyszło, że granica ilorazu \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} }\) jest równa jeden, czyli z tego kryterium nic nie wynikło.

Następnie sprawdziłem kryterium Cauchy'ego, jednak tutaj podobnie jak poprzednio wartością granicy pierwiastka \(\displaystyle{ \sqrt[n]{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} }\) była jedynka, czyli to kryterium również nie okazało się pomocne.

Zakładam, że w takim wypadku trzeba powołać się na kryterium porównawcze, jednak nie jestem w stanie znaleźć przykładu odpowiedniego ciągu. Wygląda na to, że ten szereg jest rozbieżny, więc w kryterium porównawczym powinienem znaleźć taki ciąg \(\displaystyle{ a_{n} }\), że \(\displaystyle{ a_{n} \leq b_{n} }\), dla prawie wszystkich \(\displaystyle{ n }\), gdzie \(\displaystyle{ b_{n} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n} }\), a następnie wykazać, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} }\) jest rozbieżny. To by pociągnęło za sobą rozbieżność mojego szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} }\).

Proszę o pomoc w tym zadaniu i z góry dziękuję!

[a4karo]

Wsk: sprzężenie albo tw. Lagrange'a

[Dasio11]

Spróbuj wyliczyć kilka pierwszych sum częściowych.

[Ropoocha]

Póki co użyłem takich dwóch sposobów, mam nadzieje że dobrych:

1. \(\displaystyle{ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} }\) i dla \(\displaystyle{ n\geq 5 }\) mamy: \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\geq \frac{1}{n} }\).
Szereg harmoniczny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} }\) jest rozbieżny, więc szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left ( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right ) }\) również musi być rozbieżny, z kryterium porównawczego.

2.
\(\displaystyle{ S_{1} = \sqrt{2}-\sqrt{1} }\)
\(\displaystyle{ S_{2} = \sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=\sqrt{3}-\sqrt{1}=\sqrt{3}-1 }\)
\(\displaystyle{ S_{3} = \sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}=\sqrt{4}-\sqrt{1}=2-1=1 }\)
\(\displaystyle{ \vdots }\)
\(\displaystyle{ S_{n} = \sqrt{n+1}-1 }\)

Dla \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\) mamy: \(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty}S_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\left (\sqrt{n+1}-1 \right ) = \infty }\), czyli szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left ( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right ) }\) jest rozbiezny.

[a4karo]

Ok, chociaż nierówność w pkt 1 nakazy uzasadnić

[Ropoocha]

Dziękuję za wszystkie wskazówki!
Mam jeszcze takie pytanie, czy kiedy udzielaliście mi wskazówek, to w jakiś sposób to liczyliście, czy może to jakiego sposobu należy użyć do zadania widać i można w jakiś sposób określić po samym przykładzie.
Jeżeli to "widać" od razu to proszę o wskazanie mi w jaki sposób sam mógłbym określać odpowiednie metody rozwiązywania.

[a4karo]

Niemcy maja takie przysłowie: ćwiczenie czyni mistrza. Jak zrobisz kilkadziesiąt takich przykładów i będziesz myślał przy ich rozwiązywaniu, to też w większości będziesz w stanie wskazać właściwą metodę.

[Dasio11]

Jeśli chodzi o moją wskazówkę, to dobrze znany jest typ szeregu zwany szeregiem teleskopowym. Jest to szereg postaci

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \big( a_{n+1} - a_n \big)}\),

gdzie \(\displaystyle{ \left< a_n \right>_{n \in \NN}}\) jest dowolnym ciągiem liczbowym. Jego sumy częściowe łatwo się wylicza, bo większość wyrazów się skraca:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^N \big( a_{n+1} - a_n \big) = \big( a_2 - a_1 \big) + \big( a_3 - a_2 \big) + \ldots + \big( a_{N+1} - a_N \big) = a_{N+1} - a_1}\).

Od razu widać, że Twój szereg jest przykładem szeregu teleskopowego.